Exemplum Quaestionis Disputatoriae de Arcibus Circularibus
In geometria, circulus est figura plana cum multis notionibus studendis, quarum una est arcus. Arcus est pars marginis circuli quae inter duo puncta circuli iacet. In hoc articulo, varia problemata exempla et eorum solutiones ad arcus pertinentes explorabimus.
Intellectus Fundamentalis Arcuum Circularium
Antequam ad exempla quaestionum progrediamur, interest nonnulla fundamentalia primum intellegere:
1. Circulus:
Circulus est collectio omnium punctorum in plano quae aequidistant a dato puncto centro.
2. Radius (Digiti):
Radius est distantia a centro circuli ad quodlibet punctum in margine circuli.
3. Diameter:
Diameter est longissima distantia ab uno puncto in margine circuli ad aliud punctum in latere opposito per centrum. Diameter est bis radius.
4. Arcus:
Arcus est pars marginis circuli. Si puncta A et B in margine circuli iacent, tum arcus AB est pars circuli inter A et B.
Formulae ad Arcus Circulorum Pertinentes
Ad longitudinem arcus metiendam, formulas complures intellegere debemus:
1. Longitudo Arcus (L):
Longitudo arcus circularis est longitudo marginis circuli qui arcum includit. Formula est:
\[
L = r × θ
\]
ubi ∫(r) est radius circuli et ∫(θ) est angulus centralis, in radiantibus, qui arcum intersecat.
2. Arcus Longitudo in Gradibus:
Si angulus centralis gradibus expressus est, formula utimur:
\[
L = θ360° × 2πr
\]
ubi θ est angulus centralis in gradibus.
Exempla Quaestionum et Disputationis
Quaestio 1: Computatio Longitudinis Arcus
Quaestio:
Circulus radium decem cm habet. Calcula longitudinem arcus subtensus ab angulo centrali sexaginta graduum.
Disputatio:
– Radius circuli (\(r\)) = 10 cm
– Angulus centralis (θ) = 60°
Formula longitudinis arcus in gradibus utens:
\[
L = θ360° × 2πr
\]
\[
L = (∫₀60°C) et (³₀360°C) × 2 × π × 10 cm
\]
\[
L = 1/6 × 2 × π × 10 cm
\]
\[
L = \frac{20\pi}{6} \text{cm}
\]
\[
Longitudo circiter 10.47 cm
\]
Ergo, longitudo arcus est circiter 10.47 cm.
Quaestio II: Determinatio Anguli Centralis ex Longitudine Arcus
Quaestio:
Dato circulo radio 14 cm, si arcum longitudinem 22 cm habet, angulum centralem qui arcum intersecat gradibus determina.
Disputatio:
– Radius circuli (\(r\)) = 14 cm
– Longitudo arcus (\(L\)) = 22 cm
Utere formula longitudinis arcus ad inveniendum θ:
\[
L = θ360° × 2πr
\]
Valores notos substitue:
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} × 2 \pi × 14
\]
Isolatio θ
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 28 \pi
\]
\[
22 × 360°C = θ × 28°P
\]
\[
7920 = θ × 28 π
\]
\[
θ = \frac{7920}{28 \pi}
\]
\[
θ circiter 90.72^\circ
\]
Ergo, magnitudo anguli centralis est circiter 90.72 gradus.
Quaestio III: Area Sectoris Computanda
Quaestio:
Sector circuli formatur angulo centrali 120 graduum cum radio 7 cm. Area sectoris determina.
Disputatio:
– Radius circuli (\(r\)) = 7 cm
– Angulus centralis (θ) = 120°
Formulam pro area sectoris adhibe:
\[
A = θ360° × π r²
\]
Valores notos substitue:
\[
A = (120°F) et (360°F) × π × 7²
\]
\[
A = 1/3 × π × 49
\]
\[
A = \frac{49\pi}{3}
\]
\[
A circiter 51.43 cm²
\]
Ergo, area sectoris est circiter 51.43 cm².
Quaestio IV: Arcus ex Area Sectoris Determinandus
Quaestio:
Area sectoris circuli cum radio 6 cm est 18π cm². Quae est longitudo arcus sectoris?
Disputatio:
– Radius circuli (\(r\)) = 6 cm
– Area sectoris (\(A\)) = 18π cm²
Formula areae sectoris adhibenda est ad angulum centralem θ inveniendum:
\[
A = θ360° × π r²
\]
Valores notos substitue:
\[
18 π = θ360 × π × 6²
\]
\[
18 π = θ360 × 36 π
\]
\[
18 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 36
\]
\[
18 × 360⁻¹ = θ × 36
\]
\[
6480 = θ × 36
\]
\[
θ = \frac{6480}{36}
\]
\[
θ = 180°
\]
Nunc, angulo centrali 180 graduum, longitudinem arcus determinamus:
\[
L = θ360° × 2πr
\]
\[
L = (180°F) et (360°F) × 2 × π × 6
\]
\[
L = 1/2 × 2 × π × 6
\]
\[
L = π × 6
\]
\[
Longitudo circiter 18.85 cm
\]
Ergo, longitudo arcus est circiter 18.85 cm.
conclusio
Arcus circulares intellegere et quomodo eos computare fundamentum essentiale est in geometria et mathematica in genere. Per exempla in hoc articulo tractata, lectores exspectantur ut meliorem intelligentiam adipiscantur quomodo longitudinem arcus, aream sectoris, et angulum centralem qui arcum intersecat determinare. Bona comprehensio horum conceptuum fundamentalium perutilis erit ad varia problemata circulos spectantia solvenda.
