Exempla Quaestionum de Regulis Spatiorum Implendorum Disputantium
Regula impletionis locorum, sive regula collocationis, est notio fundamentalis in mathematica et probabilitate, quae in multis casibus perutilis est. Haec regula typice adhibetur in contextu disponendi res ordine quodam vel dispositionibus diversis. In hoc articulo, exempla problematum regulae impletionis locorum tractabimus, solutiones singularum rerum accurate exhibentes.
Pendahuluan
Spatia implere est ars communis in combinatoria adhibita, campo mathematicae quod dispositionem, combinationem, et selectionem rerum investigat. Unum ex principiis fundamentalibus combinatoriae est regula multiplicationis, quae dicit si plura stadia in processu sunt et unumquodque stadium certum numerum optionum habet, tum numerum totalem dispositionum possibilium inveniri posse multiplicando numerum optionum in unoquoque stadio.
Exempli gratia, si duo stadia habemus ubi primum stadium \(m\) optiones habet et secundum stadium \(n\) optiones habet, tum numerus totalis dispositionum possibilium est \(m × n\).
Hanc notionem ad exempla problematum solvendos adhibeamus.
Exemplum I: Libros in Pluteo Disponere
Quaestio:
Quinque libri diversi et pluteus cum quinque spatiis implendis sunt. Quot modis quinque libri in pluteo disponi possunt?
Disputatio:
Hoc in casu, quinque libros in quinque spatiis diversis disponere debemus. Hoc problema permutationis est, quia ordo maximi momenti est. Regula spatia implendi vel regula multiplicationis ad hoc problema solvendum uti possumus.
1. Pro primo cubiculo, quinque optiones librorum habemus.
2. Postquam unus liber in primo cubiculo positus est, quattuor optiones librorum pro secundo cubiculo restant.
3. Pro tertia conclavi, tres optiones librorum restant, et sic porro.
Aequatio pro numero totali configurationum est:
[5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120]
Ergo, sunt centum viginti modi quinque libros ordinandi.
Exemplum II: Verba ex Litteris Diversis Formare
Quaestio:
Quot verba diversa formari possunt omnibus litteris in vocabulo "MATHEMATICA", sine eas repetitione?
Disputatio:
Primum videre debemus quot litterae sint in verbo "MATHEMATICS". Undecim litterae sunt, quarum nonnullae repetuntur. Litterae repetuntur hae:
– M usque ad 2
– Usque ad tres
– T usque ad 2
– Ceterae litterae (E, I, K) semel singulae apparent.
Formulam permutationis pro elementis repetitis utimur, nempe:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
ubi \(n\) est numerus totalis elementorum (litterarum) et \(n_1, n_2, ..., n_k\) est numerus repetitionum cuiusque elementi distincti.
Cum verbo "MATHEMATICA":
n = 11, n_1 = 2 (M), n_2 = 3 (A), n_3 = 2 (T), n_4 = 1 (E), n_5 = 1 (I), n_6 = 1 (K)
Ergo numerus verborum quae formari possunt est:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Sunt 1,663,200 verba diversa quae formari possunt.
Exemplum III: Numerum Combinationum in Martabak Determinans
Quaestio:
Venditor martabakorum quinque farcimina offert (caseum, chocolatum, arachides, bananam, et uvas passas). Si emptor tria ex quinque farciminibus pro martabakum suum eligere vult, quot combinationes diversas eligere potest?
Disputatio:
Hoc problema combinationis est, non permutationis, quia ordo non refert. Formulam combinationis utimur:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
ubi ∫(n) est numerus omnium optionum, et ∫(k) est numerus optionum captarum.
In hoc casu, n = 5 et k = 3, ergo:
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! × 2!} = \frac{120}{6 × 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
Decem combinationes diversae sunt ad tria contenta ex quinque optionibus eligenda.
Exemplum IV: Dispositio Participantium in Certamine
Quaestio:
Octo participes in cursu sunt. Quot modis tres primi collocari possunt?
Disputatio:
Hoc problema permutationis sine repetitione est, quia positio significat ordinem magni momenti esse. Formulam permutationis utimur:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
In hoc casu, si n = 8 et k = 3 sunt, tum:
P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336
Ergo, sunt trecenti triginta sex modi ad tres primas positiones octo participantium collocandas.
In hoc articulo, exempla problematum eorumque solutiones, regulis spatium implendis utens, in variis condicionibus tractavimus: a libris in pluteo disponendis ad victorem certaminis determinandum. His fundamentalibus cognitis, fiducia maior tibi dabitur in solvendis variis problematibus combinatoriis et probabilitatis, quae fortasse occurras.
