Изилдөөдөгү статистикалык формулалар
Статистика - маалыматтарды чогултуу, талдоо, чечмелөө жана көрсөтүү менен байланышкан математиканын бир тармагы. Изилдөөлөрдө, так илимдерде, инженерияда, коомдук илимдерде же ал тургай гуманитардык илимдерде болсун, статистика изилдөөчүлөргө гипотезаларды текшерүүгө, божомолдорду жасоого жана тыянак чыгарууга жардам берүүдө чечүүчү ролду ойнойт. Бул макалада кээ бир негизги статистикалык формулалар жана алардын изилдөөлөрдө колдонулушу талкууланат.
1. Сүрөттөмө статистикасы
Изилдөөдө чогултулган маалыматтарды сүрөттөө үчүн сүрөттөмө статистика колдонулат. Алар маалыматтардын жалпы көрүнүшүн камсыз кылган ар кандай ченемдерди камтыйт.
а. Орточо (орточо)
Орточо маани - статистикада эң көп колдонулган маани. Бул маалыматтар топтомундагы бардык маанилердин жалпы суммасын маанилердин санына бөлгөн сумма.
\[ \text{Mean} (\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
Кайда:
– \( \sum \) – бул сумма белгиси, ал \(x \)тин 1ден \(n \)ге чейинки бардык маанилерин кошууну билдирет.
– \( x_i \) – маалыматтар топтомундагы ар бир маани.
– \(n \) - маалыматтар топтомундагы маанилердин жалпы саны.
б. Орточо
Медиана - бул иреттелген маалыматтар топтомундагы ортоңку маани. Эгерде маалыматтардагы маанилердин саны так болсо, медиана - ортоңку маани. Эгерде маанилердин саны жуп болсо, медиана - бул эки ортоңку маанинин орточо мааниси.
в. Режим
Режим – бул маалыматтар топтомунда эң көп пайда болгон маани. Маалыматтар топтомунда бир режим (унимодалдык), бирден ашык режим (мультимодалдык) же такыр режим болбошу мүмкүн.
d. Диапазон
Диапазон - бул маалыматтар топтомундагы максималдуу жана минималдуу маанилердин айырмасы.
\[ \text{Range} = \text{Max}(x) – \text{Min}(x) \]
д. Стандарттык четтөө
Стандарттык четтөө – бул маалыматтардын орточо маанинин айланасындагы таралышын же дисперсиясын өлчөө. Популяциянын стандарттык четтөөсүнүн формуласы:
\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2}{N}} \]
Ал эми үлгү үчүн:
\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n-1}} \]
Кайда:
– \( \sigma \) – бул популяциянын стандарттык четтөөсү.
– \( s \) – бул үлгүнүн стандарттык четтөөсү.
– \( x_i \) – маалыматтар топтомундагы ар бир маани.
– \( \mu \) – бул популяциянын орточо мааниси.
– \( \bar{x} \) - үлгүнүн орточо мааниси.
– \( N \) - популяциядагы маанилердин жалпы саны.
– \( n \) - үлгүдөгү маанилердин жалпы саны.
2. Божомол статистикасы
Инференциалдык статистика изилдөөчүлөргө маалыматтардын үлгүсүнө таянып, популяция жөнүндө тыянак чыгарууга мүмкүндүк берет. Ал гипотезаларды текшерүү, регрессия жана дисперсияны талдоо (ANOVA) сыяктуу ар кандай ыкмаларды камтыйт.
а. Гипотезаны текшерүү
Гипотезаларды текшерүү - бул популяцияда шарттын чындыгы жөнүндө тыянак чыгаруу үчүн маалыматтардын үлгүсүндө жетиштүү далилдер бар же жок экендигин аныктоо үчүн колдонулган статистикалык процесс.
i. Нөлдүк гипотеза (H0) жана альтернативдик гипотеза (H1)
– Нөлдүк гипотеза (H0): Эч кандай айырма же таасир жок.
– Альтернативдик гипотеза (H1): Айырма же натыйжа бар.
Тестирлөө t-тест, хи-квадрат тести же ANOVA сыяктуу тест статистикасын колдонуу менен жана p-маанисин маанилүүлүк деңгээли (\(\альфа\)) менен салыштыруу менен жүргүзүлөт, адатта 0,05.
ii. t-тест
t-тест эки топтун орточо маанилерин салыштыруу үчүн колдонулат. t-тесттин бир нече вариациялары бар, мисалы, көз карандысыз үлгүлөр t-тест жана жупташкан t-тест.
Көз карандысыз үлгүлөр үчүн t-тесттин негизги формуласы:
\[ t = \frac{\bar{x}_1 – \bar{x}_2}{\sqrt{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right) + \left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)}} \]
б) Регрессия
Регрессия бир же бир нече көз карандысыз өзгөрмөлөрдүн (болжолдоочулардын) жана көз каранды өзгөрмөнүн (жооптун) ортосундагы байланышты моделдөө үчүн колдонулат.
i. Жөнөкөй сызыктуу регрессия
Жөнөкөй сызыктуу регрессия бир көз карандысыз өзгөрмө менен бир көз каранды өзгөрмөнүн ортосундагы байланышты моделдейт.
Жөнөкөй сызыктуу регрессиянын теңдемеси:
\[ y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \]
Кайда:
– \( y \) көз каранды өзгөрмө.
– \( x \) көз карандысыз өзгөрмө.
– \( \beta_0 \) кесилиш чекити.
– \( \beta_1 \) регрессия коэффициенти.
– \( \epsilon \) ката болуп саналат.
ii. Көп сызыктуу регрессия
Көп сызыктуу регрессия бир нече көз карандысыз өзгөрмөлөр менен бир көз каранды өзгөрмөнүн ортосундагы байланышты моделдейт.
Көптүк сызыктуу регрессиянын теңдемеси:
\[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \ldots + \beta_p x_p + \epsilon \]
Кайда:
– \( y \) көз каранды өзгөрмө.
– \( x_1, x_2, \ldots, x_p \) көз карандысыз өзгөрмө.
– \( \beta_0 \) кесилиш чекити.
– \( \beta_p \) – бул көз карандысыз өзгөрмө \(p \) үчүн регрессия коэффициенти.
– \( \epsilon \) ката болуп саналат.
в. Дисперсияны талдоо (ANOVA)
ANOVA үч же андан көп топтордун орточо маанилерин салыштыруу үчүн колдонулат. ANOVA топтордун ортосундагы өзгөрмөлүүлүктү топтордун ичиндеги өзгөрмөлүүлүк менен салыштыруу аркылуу топтун орточо маанилеринин ортосунда олуттуу айырма бар же жок экенин аныктайт.
ANOVA үчүн негизги формула:
\[ F = \frac{\text{Топтор ортосундагы өзгөрмөлүүлүк}}{\text{Топ ичиндеги өзгөрмөлүүлүк}} \]
F-статистикасы эсептелип, топтун орточо маанисинин ортосунда олуттуу айырма бар же жок экендигин аныктоо үчүн F бөлүштүрүүсүнүн критикалык мааниси менен салыштырылат.
3. Корреляция
Корреляция эки өзгөрмөнүн ортосундагы сызыктуу байланыштын күчүн жана багытын өлчөйт.
а. Пирсон корреляция коэффициенти (r)
Пирсондун корреляция коэффициенти эки өзгөрмөнүн ортосундагы сызыктуу корреляцияны өлчөө үчүн эң көп колдонулган өлчөө болуп саналат.
Пирсон корреляция коэффициентинин формуласы:
\[ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i – \bar{y})^2}} \]
Кайда:
– \( r \) – Пирсон корреляция коэффициенти.
– \(x_i \) жана \(y_i \) эки өзгөрмөнүн маанилери болуп саналат.
– \( \bar{x} \) жана \( \bar{y} \) эки өзгөрмөнүн орточолору.
\(r \) мааниси -1ден (толук терс корреляция) +1ге (толук оң корреляция) чейин өзгөрөт, 0 корреляциянын жоктугун билдирет.
Penutup
Статистика изилдөөчүлөргө маалыматтарды көрсөтүүгө, талдоого жана алардан тыянак чыгарууга жардам берүүчү маанилүү изилдөө куралы болуп саналат. Бул макалада сүрөттөмө жана тыянак статистикасындагы бир нече гана негизги формулалар, ошондой эле корреляция камтылган. Жөнөкөй болгону менен, бул формулаларды терең түшүнүү жарактуу анализдерди жүргүзүү жана изилдөө маалыматтарынан так тыянак чыгаруу үчүн маанилүү. Статистиканы өздөштүрүү менен, изилдөөчүлөр өз жыйынтыктарынын бекем жана ишенимдүү анализге негизделгенин камсыздай алышат.
