Айлануу динамикасы боюнча суроолор жана талкуу
Айлануу динамикасы физикадагы маанилүү тема болуп саналат, ал айлануучу объектилердин кыймылын карайт. Бул кубулуш инерция моменти, момент, Ньютондун айлануунун экинчи мыйзамы, айлануу кинетикалык энергиясы жана башкалар сыяктуу көптөгөн түшүнүктөрдү камтыйт. Бул макалада бул түшүнүктөрдү түшүнүүбүздү тактоо үчүн айлануу динамикасына байланыштуу бир нече көйгөйлөр жана талкуулар келтирилет.
1. Инерция моменти жана күч моменти
Суроо:
Массасы 2 кг жана радиусу 0.5 м болгон ичке шакек өзүнүн борбордук огу боюнча айланат. Шакектин инерция моментин эсептегиле жана эгер ага 6 Нм момент берилсе, анда бурчтук ылдамдануу кандай болот?
Талкуу:
Ичке шакекче үчүн борбордук огу боюнча инерция моменти (I) төмөнкүдөй:
\[ I = MR^2 \]
Эгерде √M = 2 кг жана √R = 0.5 м болсо, анда:
\[ I = 2 \убакыт (0.5)^2 \]
\[ I = 2 \0.25 эсеси \]
\[ I = 0.5 \, \text{kg} \, \text{m}^2 \]
Бурчтук ылдамданууну (\(\альфа\)) моментти (\(тау\)) жана инерция моментин (\(I\)) колдонуу менен эсептөөгө болот:
\[ \tau = I \alpha \]
\[ \alpha = \frac{\tau}{I} \]
√(\tau = 6\) Нм жана √(I = 0.5\) кг м² болгондо:
\[ \alpha = \frac{6}{0.5} \]
\[ \alpha = 12 \, \text{rad/s}^2 \]
Ошентип, шакекченин инерция моменти 0.5 кг м², ал эми пайда болгон бурчтук ылдамдануу 12 рад/с².
2. Айлануу кинетикалык энергиясы
Суроо:
Массасы 4 кг жана радиусу 0.3 м болгон катуу цилиндр 10 рад/с бурчтук ылдамдык менен айланат. Цилиндрдин айлануу кинетикалык энергиясын эсептегиле.
Талкуу:
Айлануу кинетикалык энергиясы (\(K\)) төмөнкүдөй формула менен берилет:
\[ K = \frac{1}{2} I \omega^2 \]
Мында \(\омега\) - бурчтук ылдамдык, ал эми \(I\) - инерция моменти. Катуу цилиндр үчүн (\(I = \frac{1}{2}MR^2\)):
\[ I = \frac{1}{2} \times 4 \times (0.3)^2 \]
\[ I = 2 \0.09 эсеси \]
\[ I = 0.18 \, \text{kg} \, \text{m}^2 \]
Айлануучу кинетикалык энергия теңдемесине \(I\) жана \(\омега\) маанилерин койгула:
\[ K = \frac{1}{2} \times 0.18 \times (10)^2 \]
\[ K = 0.09 \100 жолу \]
\[ K = 200 000 \, \text{J} \]
Ошентип, катуу цилиндрдин айлануу кинетикалык энергиясы \(9\) Джоуль.
3. Ньютондун айлануунун экинчи закону
Суроо:
Шкив дөңгөлөгүнүн радиусу 0.4 м жана инерция моменти 0.8 кг м². Дөңгөлөктүн четине тангенциалдык түрдө 20 Н күч (F) таасир этет. Дөңгөлөктүн бурчтук ылдамдануусун эсептегиле.
Талкуу:
Алгач, биз моментти эсептейбиз \(\tau\):
\[ \tau = F \убакыт R \]
\[ \tau = 20 \убакыт 0.4 \]
\[ \tau = 8 \, \text{Nm} \]
Андан кийин айлануу үчүн Ньютондун экинчи законун колдонуңуз:
\[ \tau = I \alpha \]
\[ \alpha = \frac{\tau}{I} \]
\(\tau = 8 \, \text{Nm}\) жана \(I = 0.8 \, \text{kg m}^2\) болгондо:
\[ \alpha = \frac{8}{0.8} \]
\[ \alpha = 10 \, \text{rad/s}^2 \]
Демек, дөңгөлөктүн бурчтук ылдамдануусу �(10) рад/с².
4. Тангенс менен которуунун ортосундагы байланыш
Суроо:
Массасы 1 кг жана радиусу 0.2 м болгон шар 5 рад/с бурчтук ылдамдык менен полго тайгаланбай тоголонуп баратат. Топтун масса борборунун сызыктуу ылдамдыгын эсептегиле.
Талкуу:
Тайгаланбай тоголонуу кыймылындагы бурчтук ылдамдык (\(\омега\)) менен сызыктуу ылдамдыктын (\(v\)) ортосундагы байланыш:
\[v = \омега R \]
√(омега = 5) рад/с жана √(R = 0.2) м болгондо:
\[v = 5 \0.2 эсе \]
\[ v = 1 \, \text{m/s} \]
Демек, шардын масса борборунун сызыктуу ылдамдыгы √1 м/с.
5. Трансляциялык жана айлануу кинетикалык энергиясынын айкалышы
Суроо:
Массасы 2 кг жана радиусу 0.1 м болгон катуу цилиндр бийиктиги 3 м болгон жантайыңкы тегиздик боюнча тоголонуп баратат. Цилиндр жантайыңкы тегиздиктин түбүнө жеткендеги ылдамдыгын эсептегиле.
Талкуу:
Цилиндр тайгаланбай тоголонгондо, тартылуу потенциалынын энергиясы трансляциялык кинетикалык энергияга жана айлануу кинетикалык энергиясына айланат. Жалпы энергия \(E\) төмөнкүдөй туюнтулушу мүмкүн:
\[ E = mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \]
Катуу цилиндр = \(\frac{1}{2}MR^2\) жана \(\omega = \frac{v}{R}\) үчүн \(I\) эске алганда, теңдеме төмөнкүдөй болот:
\[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}MR^2\right)\left(\frac{v^2}{R^2}\right) \]
\[ 2 \times 9.8 \times 3 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \times 2 \times v^2 \right) \]
\[ 58.8 = v^2 + \frac{1}{2}v^2 \]
\[ 58.8 = \frac{3}{2}v^2 \]
\[ v^2 = \frac{58.8 \times 2}{3} \]
\[ v^2 = 39.2 \]
\[ v = \sqrt{39.2} \]
\[ v \prx 6.26 \, \text{m/s} \]
Демек, цилиндрдин жантайыңкы тегиздиктин түбүнө жеткендеги ылдамдыгы болжол менен 6.26 м/с түзөт.
Корутунду
Бул маселелер аркылуу биз айлануу динамикасы боюнча бир нече маанилүү түшүнүктөрдү, анын ичинде инерция моментин, моментти, айлануу кинетикалык энергиясын, Ньютондун айлануусунун экинчи мыйзамын жана айлануу жана жылышуу кыймылынын ортосундагы байланышты изилдедик. Бул түшүнүктөрдү жакшы түшүнүү бизге айлануу кыймылына байланыштуу реалдуу дүйнөдөгү маселелерди талдап, чечүүгө жардам берет.
