Гармоникалык термелүүнүн формулалары жана мисалдары
Гармоникалык термелүү физикадагы негизги тема болуп саналат жана мезгилдүү кыймыл, толкундар жана инженердик колдонмолор жөнүндөгү талкууларда көп кездешет. Биз аны пружиналардын, маятниктердин (кичинекей бурчтар үчүн) кыймылынан жана ал тургай заттагы молекулалардын термелүүсүнөн таба алабыз. Ал "гармоникалык" деп аталат, анткени анын кыймылы үзгүлтүксүз схема боюнча жүрөт жана синус же косинус функциялары менен моделдештирилиши мүмкүн. Бул макалада гармоникалык термелүү түшүнүгүн түшүнүүгө жардам берүү үчүн кыскача аныктама, негизги формулалар жана мисал маселелери жана чечимдер талкууланат.
1. Гармоникалык термелүүлөрдү түшүнүү
Жөнөкөй гармоникалык термелүү (ЖГТ) – бул чоңдугу жылышууга пропорционалдуу жана багыты ар дайым тең салмактуулук чекитине багытталган калыбына келтирүүчү күч менен тең салмактуулук чекитинен өткөн объекттин алдыга жана артка кыймылы. Математикалык жактан анын мүнөздөмөлөрүн төмөнкүдөй жазууга болот:
F = −kx
Минус белгиси күчтүн багыты четтөө багытына карама-каршы экенин көрсөтөт. Эгерде нерсе оңго тартылса (оң x), калыбына келтирүүчү күч солго (терс) жана тескерисинче.
GHSтин мисалдары катары көбүнчө келтирилген эки система:
1. Пружина-масса системасы (пружина аягындагы масса).
2. Жөнөкөй маятник (кичинекей бурчтар үчүн, адатта < 15°). 2. Гармоникалык термелүүдөгү маанилүү чоңдуктар GHSте ар дайым пайда болгон кээ бир чоңдуктар: - Четтөө (x): объектинин тең салмактуулук чекитинен аралыгы (m). - Амплитуда (A): максималдуу четтөө (m). - Период (T): бир толук термелүү үчүн талап кылынган убакыт (с). - Жыштык (f): секундасына термелүүлөрдүн саны (Hz). - Бурчтук ылдамдык / бурчтук жыштык (ω): синус/косинус теңдемесиндеги маанилүү параметр (rad/s). - Фаза (φ): кыймылдын баштапкы шарттарын аныктайт. Период менен жыштыктын ортосундагы негизги байланыш: f = 1/T Жана ω менен T жана f ортосундагы байланыш: ω = 2πf = 2π/T 3. Гармоникалык термелүү теңдемеси Четтөөнүн убакыттын функциясы катары жалпы формасын төмөнкүдөй жазууга болот: x(t) = A sin(ωt + φ) же x(t) = A cos(ωt + φ)
sin/cos тандоосу баштапкы шарттарга жараша бирдей туура (мисалы, t = 0 болгондо, абал амплитудада же тең салмактуулук чекитинде болот). Ылдамдык жана ылдамдануу Ылдамдык - бул жылышуунун биринчи туундусу: v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (эгер x = A sin) же баштапкы формага ылайык терс болушу мүмкүн. Ылдамдануу - экинчи туунду: a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ) x(t) = A sin(ωt + φ) болгондуктан, анда: a(t) = −ω² x(t) Бул GHSтин негизги касиети: ылдамдануу жылышууга пропорционалдуу жана багыты боюнча карама-каршы. Максималдуу ылдамдык жана максималдуу ылдамдануу - v_max = Aω - a_max = Aω² Максималдуу ылдамдык объект тең салмактуулук чекитинен (x = 0) өткөндө пайда болот. Максималдуу ылдамдануу амплитудада (x = ±A) болгондо пайда болот. 4. Пружиналардын жана маятниктердин термелүү мезгили A. Пружина-Масса Пружина туруктуусу k жана массасы m болгон идеалдуу пружина үчүн: T = 2π √(m/k) ω = √(k/m) Бул масса канчалык чоң болсо, мезгил ошончолук чоң (жайыраак) дегенди билдирет. k канчалык чоң болсо (пружина канчалык катуу болсо), мезгил ошончолук кичине (ылдамыраак). B. Жөнөкөй маятник (кичинекей бурч) Жиптин узундугу L жана гравитациялык ылдамдануусу g болгон маятник үчүн: T = 2π √(L/g) ω = √(g/L) Кызыктуусу, кичине бурчтук жакындаштырууда мезгил маятниктин массасына көз каранды эмес, ал узундукка жана гравитацияга гана көз каранды. 5. Гармоникалык термелүүдөгү энергия GHSте жалпы энергия туруктуу бойдон калат (сүрүлүү жок болсо): - Пружинанын потенциалдык энергиясы: Ep = ½ kx² - Кинетикалык энергия: Ek = ½ mv² - Жалпы механикалык энергия: E = Ek + Ep = ½ kA² x = ±A болгондо, v = 0 болгондо, энергия толугу менен потенциалдуу. x = 0 болгондо, Ep = 0 жана энергия толугу менен кинетикалык. 6. Мисал суроолор жана талкуу 1-мисал: Пружинанын мезгилин аныктоо 0,5 кг массасы туруктуу k = 200 Н/м болгон пружинага илинген. Термелүү мезгилин аныктаңыз! Берилген: m = 0,5 кг, k = 200 Н/м Суроо берилген: T Жооп: T = 2π √(m/k) = 2π √(0,5 / 200) = 2π √(0,0025) = 2π (0,05) = 0,1π с ≈ 0,314 с
Демек, пружина термелүүсүнүн мезгили болжол менен 0,314 с түзөт. --- 2-мисал: Жыштыкты жана ωди аныктоо 1-суроодон (f) жана ω жыштыгын аныктаңыз! Жооп: f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Гц ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 рад/с (же түз ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 рад/с) Демек, жыштык болжол менен 3,18 Гц жана ω = 20 рад/с. --- 3-мисал: Четтөө теңдемеси Объект 0,10 м амплитудасы жана ω = 5 рад/с менен гармоникалык термелет. t = 0 болгондо, объект тең салмактуулук чекитинде болот жана оң багытта жылат. Четтөө теңдемесин аныктаңыз! Берилген: A = 0,10 м, ω = 5 рад/с Баштапкы шарттар: t = 0 → x = 0 жана баштапкы v оң. Эгерде x(0) = 0 болсо, тиешелүү форма синус: x(t) = A sin(ωt) v(t) = Aω cos(ωt) болгондуктан, анда v(0) = Aω cos(0) = Aω тиешелүү түрдө оң. Ошентип: x(t) = 0,10 sin(5t) (метр) --- 4-мисал: Максималдуу ылдамдык жана максималдуу ылдамдануу 3-мисалдан v_max жана a_max аныктаңыз. Жооп: v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 м/с a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 м/с² Демек, v_max = 0,50 м/с жана a_max = 2,5 м/с². --- 5-мисал: Пружинанын энергиясы k = 100 Н/м болгон пружинанын амплитудасы A = 0,20 м. Анын жалпы механикалык энергиясын эсептегиле! Жооп: E = ½ kA² = ½ (100)(0,20)² = 50 × 0,04 = 2 Дж Термелүүнүн жалпы механикалык энергиясы 2 джоуль. --- 6-мисал: Маятниктин мезгили Жөнөкөй маятниктин узундугу 1 м. Эгерде g = 10 м/с² болсо, анын мезгилин аныктаңыз. Жооп: T = 2π √(L/g) = 2π √(1/10) = 2π √0,1 ≈ 2π (0,316) ≈ 1,99 с Демек, маятниктин мезгили болжол менен 2,0 с. 7. Жыйынтык Жөнөкөй гармоникалык термелүү физикадагы абдан фундаменталдуу мезгилдүү кыймыл болуп саналат. Аны түшүнүүнүн ачкычы жылышууга пропорционалдуу калыбына келтирүүчү күчтүн (F = −kx) жана синус/косинус функциясын ээрчиген анын математикалык моделинин ортосундагы байланышта. Пружиналардын жана маятниктердин мезгилдик формуласын, жылышуу-ылдамдык-ылдамдануу теңдемелерин жана энергия түшүнүгүн түшүнүү менен, сизге термелүүлөр жана толкундар менен байланышкан маселелерди чечүү оңой болот.
Кааласаңыз, мен кошумча практикалык суроолорду кошо алам (алдын ала талкуулабай эле) же экзаменге даяр формулалардын кыскача версиясын түзө алам.
