Топтук маалыматтардын дисперсиясын жана стандарттык четтөөсүн талкуулоо боюнча мисал суроолор
Pendahuluan
Статистикада дисперсия жана стандарттык четтөө – бул маалыматтардын орточо мааниден дисперсиясын же таралышын түшүнүү үчүн абдан маанилүү болгон эки статистикалык өлчөө. Дисперсия маалыматтардын орточо мааниден канчалык алыс тараганын өлчөйт, ал эми стандарттык четтөө дисперсиянын квадрат тамыры болуп саналат жана баштапкы маалыматтар менен бирдей бирдиктерде көрсөтүлгөн өлчөө берет.
Аныктама
– Дисперсия (σ² же S²): Ар бир маалымат мааниси менен маалыматтын орточо маанисинин ортосундагы айырмачылыктардын квадраттарынын орточо мааниси.
– Стандарттык четтөө (σ же S): дисперсиянын квадрат тамыры.
Топтук маалыматтардын дисперсиясы жана стандарттык четтөөсү үчүн формула
Топтук маалыматтар үчүн биз ар бир класстагы маалыматтардын жыштыгын колдонобуз. Формула төмөнкүдөй:
Vary
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Стандарттык четтөө
\[ S = \sqrt{S^2} \]
ди мана:
– \( f_i \) = ар бир класстын жыштыгы.
– \( x_i \) = ар бир класстын ортосу.
– \( \bar{x} \) = топтук маалыматтардын орточо мааниси.
– \( N \) = маалыматтардын жалпы саны.
Үлгү суроолор жана талкуу
Класстарга топтолгон адамдардын тобунун салмак маалыматтары бар деп коёлу.
| Салмак аралыгы (кг) | Жыштык (f) |
|———————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Биринчи кадам - ар бир класстын орто чекитин (\(x_i \)) аныктоо жана андан кийин орточо маанини (\(\bar{x} \)) эсептөө.
1. Орто чекитти эсептөө (\(x_i \))
\[ \text{Орто чекит} = \frac{\text{Төмөнкү чек} + \text{Жогорку чек}}{2} \]
| Салмак аралыгы (кг) | Жыштык (f) | Орто чекит (\( x_i \) ) |
|——————|————–|—————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Орточо маанини эсептөө ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N} \]
Маалыматтардын жалпы саны \( N \):
\[N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[\sum f_i x_i = (2 \times 52) + (5 \times 57) + (8 \times 62) + (7 \times 67) + (3 \times 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Ошентип, орточо (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{1570}{25} = 62.8\]
3. Дисперсияны эсептөө (\( S^2 \) )
Биз \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \) эсептешибиз керек:
\[
\begin{align}
(x_i – \bar{x})^2: жана (52 – 62.8)^2 = 118.84
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align}
\]
Жыштык боюнча көбөйтүү:
\[
\begin{align}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68
& 5 \көбөйтүлгөн 33.64 = 168.2 \\
& 8 \0.64 = 5.12 \\
& 7 \17.64 = 123.48 \\
& 3 эсе 84.64 = 253.92
\end{align}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Эми биз дисперсияны эсептей алабыз (\( S^2 \)):
\[S^2 = \frac{788.4}{25–1} = \frac{788.4}{24}\болжол менен 32.85\]
4. Стандарттык четтөөнү эсептөө (\( S \) )
Стандарттык четтөө (\( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[S = \sqrt{32.85} \болжол менен 5.73 \]
Корутунду
Жогорудагы мисал маалыматтардан бизде төмөнкүлөр бар:
– Орточо дене салмагын эсептөө: 62.8 кг
– Дисперсияны эсептөө: 32.85 кг²
– Стандарттык четтөөнү эсептөө: 5.73 кг
Стандарттык четтөөнүн чечмелениши салмак маалыматынын орточо мааниден орточо четтөөсү болжол менен 5.73 кг түзөт дегенди билдирет. Бул маалыматтардын орточо мааниге карата таралышын көрсөтөт, бул биздин маалыматыбыздын канчалык өзгөрүлмө экенин аныктоого жардам берет.
Дисперсияны жана стандарттык четтөөнү терең түшүнүү, айрыкча статистика, изилдөө жана тестирлөө тармагында иштегендер үчүн абдан маанилүү, анткени алар маалыматтарды топтор же бөлүштүрүү түрүндө түшүнүүгө аракет кылышат. Бул эки көрсөткүчтү кантип эсептөөнү жана чечмелөөнү билүү колдогу маалыматтарга негизделген жакшыраак чечим кабыл алууга жардам берет.
