Математикалык айландыруу жөнүндө мисал маселелер
Pendahuluan
Айландыруу – бул математикада, айрыкча геометрияда көп кездешүүчү геометриялык трансформация. Айландыруу объектини белгилүү бир чекиттин (айлануу борбору) айланасында белгилүү бир бурч аркылуу саат жебеси боюнча же саат жебесине каршы багыт боюнча айландырууну камтыйт. Айландыруу түшүнүгүн колдонуу компьютердик графика, физика жана инженерия сыяктуу тармактарда абдан маанилүү. Бул макалада математикада айландыруунун ар кандай мисалдары жана талкуулары каралат.
Айланууну түшүнүү
Айлануу – бул объекттин ар бир чекитин айлануу борбору деп аталган белгиленген чекиттин айланасында белгилүү бир бурч менен белгилүү бир багытта айландыруу менен жылдыруучу трансформация. θ бурчу жана айлануу борбору (a, b) болгон айлануунун жалпы белгиси R_(a, b)(θ) катары жазылышы мүмкүн.
Айлануу борбору (0, 0) баштапкы чекитинде θ градуска айланган P(x, y) чекити үчүн, айлануудан кийинки P'(x', y') жаңы координаталары төмөнкү формула боюнча алынат:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Келгиле, айлануу маселелеринин айрым мисалдарын жана аларды талкуулоону уланталы.
Үлгү суроолор жана талкуу
1-мисал суроо
Суроо: Айлануу борбору (0, 0) баштапкы чекитте болгондой кылып, А(3, 4) чекитин саат жебесине каршы 90 градуска айландыргандан кийин анын жаңы координаталарын аныктагыла.
Талкуу: Сааттын жебесине каршы 90 градус бурч менен айландыруу формуласын колдонуу:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Демек, айлануудан кийинки A'нын жаңы координаталары (-4, 3) болот.
2-мисал суроо
Суроо: B(2, -1) чекити саат жебеси боюнча 180 градуска айланган, айлануу борбору баштапкы чекитте (0, 0) калат. Айлануудан кийинки B чекитинин жаңы координаталарын аныктагыла.
Талкуу: Сааттын жебеси боюнча же сааттын жебесине каршы 180 градуска айландыруу ошол эле натыйжаны берет, тактап айтканда, чекиттин координаталары (-x, -y) болуп өзгөрөт.
– x' = -x = -2
– у = -у = 1
Демек, B' нуклеотидинин жаңы координаталары (-2, 1).
3-мисал суроо
Суроо: C(-3, 5) чекити айлануу борбору баштапкы чекитте (0, 0) болуп, саат жебесине каршы 270 градуска айланган. Айлануудан кийинки C чекитин аныктаңыз.
Талкуу: Саат жебесине каршы 270 градус айлануу саат жебеси боюнча 90 градус айланууга барабар.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Демек, айлануудан кийинки C'тин жаңы координаталары (5, -3).
4-мисал суроо
Суроо: Айлануу борбору (0, 0) башталышында болгондой кылып, D(5, 5) чекитин 45 градуска айландыргандан кийин анын жаңы координаталарын аныктагыла.
Талкуу: 45 градус бурч менен айлануу формуласын колдонуу:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Демек, айлануудан кийинки D' нын жаңы координаталары (0, 5√2) болот.
Айлануу борбору баштапкы абалда эмес болгондо айлануу
Айлануулар дайыма эле баштапкы чекиттин айланасында аткарыла бербейт. Мисалы, айлануу борбору (h, k) болгон чекитти айландыргыбыз келет дейли. Ал үчүн координаталарды төмөнкүдөй тууралашыбыз керек:
1. Чекитти (h, k) башталыш чекити болуп калышы үчүн которуңуз.
2. Айландыруу формуласын колдонуңуз.
3. Баштапкы абалына кайра которуңуз.
5-мисал суроо
Суроо: E(5, 7) чекити саат жебесине каршы 90 градуска айланган, айлануу борбору (2, 3) чекитинде болгон. Айлануудан кийинки E чекитинин жаңы координаталарын аныктагыла.
Талкуу:
1. E чекитин айлануу борборуна карата баштапкы чекитке которгула (2, 3):
– Жаңы чекит E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Жаңы чекиттин айланасында саат жебесине каршы 90 градуска буруңуз:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Демек, айлануудан кийинки координаттар (-4, 3) болот.
3. Айлануу борборуна карата баштапкы абалга кайтуу (2, 3):
– Акыркы чекит E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Демек, айлануудан кийинки Е чекитинин жаңы координаталары (-2, 6) болот.
Корутунду
Математикалык айландырууларды талдоо жана түшүнүү ар кандай колдонмолордо абдан маанилүү. Жогорудагы мисалдар жана талкуулар аркылуу окурмандар айландыруу формулалары кандай иштээрин жана аларды ар кандай кырдаалдарда кантип колдонсо болорун түшүнүшөт деп күтүлүүдө. Бул көнүгүү фундаменталдык математиканы бекемдеп гана тим болбостон, геометриялык кайра түзүүлөрдү камтыган башка тармактарда да пайдалуу.
