Параллелограмм ыкмасын колдонуп, эки векторду кошууну талкуулоо боюнча мисал суроо
Вектордук кошуу физика жана математикадагы маанилүү түшүнүк болуп саналат жана көбүнчө жаратылыш кубулуштарын жана күнүмдүк турмуштук көйгөйлөрдү сүрөттөө үчүн колдонулат. Эки векторду кошуунун бир нече ыкмалары бар, алардын бири - параллелограмм ыкмасы. Бул ыкма интуитивдик гана эмес, ошондой эле эки вектордун кантип биригип, натыйжада пайда болгон векторду түзөрүн күчтүү визуалдаштырууну камсыз кылат. Бул макалада биз параллелограмм ыкмасын колдонуп векторлорду кошуунун бир нече мисалдарын жана алардын чечимдерин карайбыз.
Вектор деген эмне?
Мисал маселелерине өтүүдөн мурун, вектордун негизги аныктамасын түшүнүшүбүз керек. Вектор – бул чоңдугу (узундугу) жана багыты бар чоңдук. Векторлордун классикалык мисалдарына ылдамдык, ылдамдануу, күч жана жылышуу кирет. Векторду анын компоненттери (i, j, k) катары декарттык координаттарда же узундугу жана багыты (бурчу) катары көрсөтсө болот.
Параллелограмм ыкмасы
Параллелограмм ыкмасы эки векторду кошуунун бир жолу. Бул ыкмада биз эки векторду параллелограммдын эки жагы катары көрсөтөбүз. Натыйжада алынган вектор - бул эки вектордун башталыш чекитинен башталган параллелограммдын диагоналы. Математикалык жактан алганда, эгерде бизде эки вектор \(\vec{A}\) жана \(\vec{B}\) болсо, натыйжа \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) болот.
Параллелограмм ыкмасын колдонуунун этап-этабы менен ыкмасы төмөнкүдөй:
1. Баштапкы чекиттен \(\vec{A}\) векторун чийиңиз.
2. \(\vec{A}\) векторунун учунан \(\vec{B}\) векторун чийиңиз.
3. Баштапкы чекиттен \(\vec{A}\) векторуна параллель сызык сызыңыз.
4. \(\vec{B}\) векторунун учунан \(\vec{A}\) векторуна параллель сызык сызыңыз.
5. Натыйжада пайда болгон векторду алуу үчүн баштапкы чекиттен карама-каршы бурчка диагонал сызыңыз.
Үлгү суроолор жана талкуу
1-суроо
Мисалы, бизде эки вектор бар дейли: \(\vec{A}\) жана \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) узундугу (чоңдугу) 5 бирдик жана багыты 0° (же оң х огу боюнча),
– \(\vec{B}\) узундугу 3 бирдик жана багыты 90° (же оң у огу боюнча).
Параллелограмм ыкмасын колдонуп, бул эки векторду кошуунун жыйынтык мааниси кандай?
Талкуу:
1. Узундугу 5 бирдик болгон оң х огу боюнча \(\vec{A}\) векторун тартыңыз.
2. \(\vec{A}\) векторунун учунан баштап, \(\vec{B}\) векторун оң у огу боюнча 3 бирдик узундукта чийиңиз.
3. \(\vec{A}\) баштапкы чекитинен \(\vec{B}\) га параллель сызык чийиңиз.
4. \(\vec{B}\) нин учунан баштап, \(\vec{A}\) ге параллель сызык чийиңиз.
5. Натыйжада, диагоналы пайда болгон параллелограмм \(\vec{R}\) вектору болуп саналат.
\(\vec{A}\) жана \(\vec{B}\) бири-бирине перпендикуляр болгондуктан, пайда болгон вектордун узундугун эсептөө үчүн Пифагор теоремасын колдонсок болот:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \болжол менен 5.83 \]
Натыйжада пайда болгон вектордун багытын тригонометриянын жардамы менен эсептөөгө болот. Эгерде \(\theta\) натыйжасында пайда болгон вектор менен \(\vec{A}\ ортосундагы бурч болсо:
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
ошондой:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \pprox 30.96^\circ \]
Ошентип, пайда болгон вектордун чоңдугу болжол менен 5.83 бирдикке жана багыты болжол менен 30.96°ка барабар, ал эми багыты 1.1.
2-суроо
\(\vec{C}\) жана \(\vec{D}\) эки вектору төмөнкүдөй берилген:
– узундугу 4 бирдик жана багыты 45° болгон \(\vec{C}\).
– узундугу 6 бирдик жана багыты 120° болгон \(\vec{D}\).
Эки векторду кошуудан алынган \(\vec{R}\) векторун аныктагыла.
Талкуу:
Бири-бирине перпендикуляр эмес же ар кандай формадагы эки векторду кошуу үчүн декарттык компоненттерди колдонсо болот.
1. \(\vec{C}\) жана \(\vec{D}\) ды x жана y компоненттерине бөлүңүз.
\(\vec{C}\ үчүн):
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
\(\vec{D}\ үчүн):
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \pprox 5.20 \]
2. Эки вектордун x жана y компоненттерин кошуңуз:
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Пайда болгон вектордун чоңдугун жана багытын эсептегиле \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \pprox 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \pprox \tan^{-1}(-47.24) \]
Натыйжа терс болгондуктан, туура квадрант системасындагы бурчту алуу үчүн 180° кошобуз:
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
Ошентип, пайда болгон вектордун чоңдугу болжол менен 8.03 бирдикке жана багыты болжол менен 271.93°ка барабар, же төртүнчү квадранттагы терс х огунан болжол менен 91.93° деп айта алабыз.
Penutup
Параллелограмм ыкмасы эки векторду кошуунун натыйжалуу жана визуалдык жолу болуп саналат. Бул ыкма жөнөкөй векторлор үчүн жөнөкөй көрүнгөнү менен, татаалыраак векторлор үчүн так натыйжаларды алуу үчүн көп учурда декарттык компоненттерди жана өркүндөтүлгөн алгебралык ыкмаларды колдонуу керек экенин түшүнүү маанилүү. Жогорудагы мисалдар бул ыкманы ар кандай кырдаалдарда кантип колдонсо болорун так көрсөтөт деп үмүттөнөбүз.
