Биномдук бөлүштүрүү функциясын талкуулоо боюнча мисал суроолор
Биномдук бөлүштүрүү – бул эки мүмкүн болгон натыйжасы бар бир катар көз карандысыз сыноолордон турган эксперименттеги ийгиликтердин санын сүрөттөгөн дискреттик ыктымалдуулук бөлүштүрүүсү: ийгилик жана ийгиликсиздик. Ар бир сыноо сыноо деп аталат жана биномдук бөлүштүрүү көбүнчө бир катар көз карандысыз сыноолордогу ийгиликтердин саны кызыктуу болгон кырдаалдарда колдонулат. Бул макалада биз биномдук бөлүштүрүүнүн негизги түшүнүктөрүн талкуулап, мисалдарды жана чечимдерди келтиребиз.
Биномдук бөлүштүрүү функциясынын негизги түшүнүктөрү
Мисал суроолорго жана талкууга өтүүдөн мурун, биномдук бөлүштүрүүгө байланыштуу кээ бир негизги түшүнүктөрдү талкуулайлы.
1. Аныктама: Биномдук бөлүштүрүү 'n' көз карандысыз сыноолордогу ийгиликтердин суммасы катары аныкталат, мында ар бир сыноонун эки мүмкүн болгон натыйжасы бар: ийгилик (p ыктымалдуулугу менен) же ийгиликсиздик (q = 1 – p ыктымалдуулугу менен).
2. Ыктымалдуулук функциясы: Биномдук бөлүштүрүүнүн ыктымалдуулук функциясы:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
ди мана:
– \( P(X = k) \) – бул n сыноодо k жолу ийгиликке жетүү ыктымалдыгы.
– \( \binom{n}{k} \) – бул n санынын k санынын айкалышы, ал \( \frac{n!}{k!(nk)!} \). катары аныкталат.
– \( p \) – ар бир сыноодо ийгиликке жетүү ыктымалдыгы.
– \( (1-p) \) ар бир сыноодогу ийгиликсиздиктин ыктымалдуулугу.
3. Күтүлгөн маани жана дисперсия:
– Биномдук бөлүштүрүүнүн күтүлгөн мааниси (орточо мааниси) \( \mu = np \) болуп саналат.
– Биномдук бөлүштүрүүнүн дисперсиясы \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Эми, тереңирээк түшүнүү үчүн бул түшүнүктөрдү мисал маселеде колдонолу.
1-мисал суроо: Биномдук бөлүштүрүүнүн негизги эсептөөлөрү
Суроо:
Компания электрондук компоненттерди ар бир компоненттин сапат сынагынан өтүү ыктымалдыгы 0.95 менен чыгарат. Эгерде 10 компонент чыгарылса, так 8 компоненттин сапат сынагынан өтүү ыктымалдыгын эсептегиле.
Талкуу:
Бул маселени чечүү үчүн биномдук бөлүштүрүү формуласын колдонсок болот. Алгач, төмөнкү параметрлерди аныктайбыз:
– \( n \) (сыноолордун жалпы саны) = 10
– \( k \) (ийгиликтердин саны) = 8
– \( p \) (ийгиликтүү болуу ыктымалдыгы) = 0.95
– \( q \) (иштебей калуу ыктымалдыгы) = 1 – 0.95 = 0.05
Андан кийин бул маанилерди биномдук бөлүштүрүү формуласына алмаштырыңыз:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Алгач, \( \binom{10}{8} \) айкалышын эсептеңиз:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Андан кийин, \( (0.95)^8 \) жана \( (0.05)^2 \) ыктымалдуулуктарын эсептегиле:
\[
(0.95)^8 \болжол менен 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Акырында, төмөнкүнү алуу үчүн бардык баалуулуктарды көбөйтүңүз:
\[
P(X = 8) = 45 \0.6634 \0.0025 \0.0744 жолу
\]
Ошентип, 10 компоненттин ичинен так 8и сапат тестинен өтүү ыктымалдыгы болжол менен 0.0744 же 7.44% түзөт.
2-мисал суроо: Кумулятивдик ыктымалдуулук
Суроо:
Дагы эле ошол эле компанияда, 10 компоненттин жок дегенде 9у сапат тестинен өтүү ыктымалдыгын эсептеңиз.
Талкуу:
Бул маселени чечүү үчүн биз кумулятивдик ыктымалдуулукту эсептешибиз керек. 10 компоненттин жок дегенде 9у тесттен өтүү ыктымалдыгы \(P(X \geq 9) \) эсептейбиз дегенди билдирет, аны төмөнкүдөй жазууга болот:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Биномдук бөлүштүрүү формуласын колдонуу:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Биринчиден, ар бир учур үчүн айкалышты эсептеңиз:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Андан кийин, \(P(X = 9) \) жана \(P(X = 10) \) үчүн ыктымалдуулуктарды эсептеңиз:
\[
P(X = 9) = 10 эсе (0.95)^9 эсе 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \болжол менен 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \0.6302 \0.05 \0.3151 жолу
\]
\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} \болжол менен 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
P(X \geq 9) \ үчүн жалпы ыктымалдуулук:
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \болжол менен 0.9138
\]
Ошентип, 10 компоненттин жок дегенде 9у сапат тестинен өтүү ыктымалдыгы болжол менен 0.9138 же 91.38% түзөт.
3-мисал суроо: Күтүлгөн маани жана дисперсия
Суроо:
Өндүрүлгөн 10 компоненттин ичинен сапат сынагынан өткөн компоненттердин санынын күтүлгөн маанисин жана дисперсиясын эсептегиле, өтүү ыктымалдуулугу 0.95.
Талкуу:
Төмөнкү формуланы колдонуңуз:
– Күтүлгөн маани (орточо) \( \mu = np \)
– Дисперсия \( \sigma^2 = np(1-p) \)
\(n = 10 \) жана \(p = 0.95 \) менен:
\[
\mu = 10 \убакыт 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \0.95 эсе \0.05 эсе = 0.475
\]
Ошентип, сапат тестинен өткөн компоненттердин санынын күтүлгөн мааниси 9.5ке, ал эми дисперсиясы 0.475ке барабар.
Корутунду
Жогорудагы үч мисал маселелер аркылуу биз ар кандай кырдаалдар үчүн биномдук бөлүштүрүүнү колдонуу менен ыктымалдуулукту кантип эсептөөнү талкууладык: так ыктымалдуулукту, кумулятивдик ыктымалдуулукту эсептөө жана күтүлгөн маанини жана дисперсияны эсептөө. Биномдук бөлүштүрүүнү билүү өндүрүш, медициналык изилдөөлөр жана социалдык статистика сыяктуу ар кандай тармактарда пайдалуу, мында эки мүмкүн болгон натыйжасы бар кайталанма эксперименттердин жыйынтыктары чечим кабыл алууга жардам берүү үчүн талданышы мүмкүн. Берилген мисал маселелер жана талкуулар биномдук бөлүштүрүүнү тереңирээк түшүнүүгө жардам берет деп үмүттөнөбүз.
