Геометриялык катарларды талкуулоо боюнча мисал суроолор
Геометриялык ырааттуулуктар – бул математикада көбүнчө орто мектепте окутулган негизги түшүнүк. Бул ырааттуулуктар бир катар сандардан турат, алардын ар бири мурунку сандын "катыш" деп аталган туруктууга көбөйтүндүсү. Бул макалада окурмандарга бул түшүнүктү жакшыраак түшүнүүгө жардам берүү үмүтү менен геометриялык ырааттуулуктардын бир нече мисал маселелери жана талкуулары каралат.
Геометриялык катарларды түшүнүү
Геометриялык ырааттуулук – бул биринчи санды (a) туруктуу катышка (r) көбөйтүү менен түзүлгөн сандардын ырааттуулугу. Жалпысынан алганда, геометриялык ырааттуулуктун жалпы формасы төмөнкүдөй:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
Бул жерде:
– “a” – бул удаалаштыктын биринчи мүчөсү.
– “r” – бул бир мүчөнүн мурунку мүчөгө болгон катышы.
– “n” – ырааттуулуктагы n-мүчө.
Үлгү суроолор жана талкуу
Геометриялык удаалаштыктарды көбүрөөк түшүнүү үчүн кээ бир мисал маселелерди карап көрөлү.
1-мисал суроо
Суроо:
Биринчи мүчөсү (a) 3кө жана катышы (r) 2ге барабар болгон геометриялык ырааттуулук берилген. Аныктагыла:
1. Тизмедеги онунчу мүчө.
2. Тизмедеги алгачкы 6 мүчөнүн суммасы.
Талкуу:
1. 5-мүчөнү (U5) геометриялык удаалаштыктын n-мүчөсү үчүн формуланы колдонуу менен эсептесе болот, атап айтканда:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Формулага a = 3, r = 2 жана n = 5 сандарын коюп:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
Демек, удаалаштыктын 5-мүчөсү 48ге барабар.
2. Геометриялык удаалаштыктын алгачкы 6 мүчөсүнүн (S6) суммасын биринчи n мүчөсүнүн суммасынын формуласын колдонуу менен эсептесе болот, атап айтканда:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \right) \]
Формулага a = 3, r = 2 жана n = 6 сандарын коюп:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( 63 \right) \]
\[ S_6 = 189 \]
Демек, удаалаштыктын алгачкы 6 мүчөсүнүн суммасы 189га барабар.
2-мисал суроо
Суроо:
Геометриялык удаалаштыктын 3-мүчөсү 27ге, ал эми 5-мүчөсү 243кө барабар. Биринчи мүчөнүн (a) жана катышынын (r) маанисин аныктагыла.
Талкуу:
U3 = 27 жана U5 = 243 берилген. Геометриялык удаалаштыктын n-мүчөсүнүн формуласын колдонуп:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
U3 үчүн:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
U5 үчүн:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
(1) жана (2) теңдемелерди салыштырып, төмөнкүнү жокко чыгарыңыз:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[9 = r^2 \]
\[r = 3 \text{ же }r = -3 \]
r маанисин (1) теңдемеге алмаштырабыз:
Эгерде \(r = 3 \):
\[27 = a \cdot 3^2 \]
\[27 = a \cdot 9 \]
\[ а = 3 \]
Эгерде \(r = -3 \):
\[27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[27 = a \cdot 9 \]
\[ а = 3 \]
Ошентип, биринчи мүчө (a) 3кө барабар, ал эми катышы (r) 3 же -3 болушу мүмкүн.
3-мисал суроо
Суроо:
Эгерде биринчи мүчөсү (a) 8ге жана катышы (r) 1/2ге барабар болсо, төмөнкү геометриялык катарлардын чексиз суммасын тапкыла.
Талкуу:
Геометриялык катардын чексиз суммасын төмөнкү формула менен эсептесе болот:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
Формулага a = 8 жана r = 1/2 сандарын коюп:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \убакыт 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
Демек, геометриялык катардын чексиз суммасы 16га барабар.
4-мисал суроо
Суроо:
Геометриялык удаалаштыктын 2-мүчөсү 12ге, ал эми 4-мүчөсү 108ге барабар. Катышын жана удаалаштыктын биринчи мүчөсүн аныктагыла.
Талкуу:
\(U_2 = 12 \) жана \(U_4 = 108 \) берилген. Геометриялык удаалаштыктын n-мүчөсүнүн формуласын колдонуу менен:
\( U_2 \) үчүн:
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
\( U_4 \) үчүн:
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
(1) жана (2) теңдемелерди салыштырып, төмөнкүнү жокко чыгарыңыз:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[9 = r^2 \]
\[r = 3 \text{ же }r = -3 \]
r маанисин (1) теңдемеге алмаштырабыз:
Эгерде \(r = 3 \):
\[12 = a \cdot 3 \]
\[ а = 4 \]
Эгерде \(r = -3 \):
\[12 = a \cdot (-3) \]
\[ а = -4 \]
Ошентип, биринчи мүчө (a) 4 же -4, ал эми катышы (r) 3 же -3 болушу мүмкүн.
Корутунду
Геометриялык ырааттуулуктар – ар кандай тармактарда көп колдонулган маанилүү математикалык түшүнүк. Негиздерин түшүнүү жана маселелерди чечүү көндүмдөрүн колдонуу менен, биз бул түшүнүктү түшүнүүдө жана колдонууда жакшыраак тажрыйбага ээ боло алабыз деп үмүттөнөбүз. Бул макалада окурмандарга геометриялык ырааттуулуктарды тереңирээк үйрөнүүгө жана түшүнүүгө жардам берүү үчүн бир нече мисал маселелер жана талкуулар камтылган. Бул пайдалуу болот деп үмүттөнөбүз!
