Analîza Cûdahî û Devîasyona Standard di Belavkirina Daneyan de
Di îstatîstîkan de, têgihîştina belavbûna daneyan bi qasî têgihîştina nirxên navendî yên wekî navînî an medyan girîng e. Du setên daneyan dikarin heman navînî hebin, lê belavkirinên wan pir cûda ne: yek dikare li dora navînî bi hişkî kom bibe, lê ya din dikare bi berfirehî belav bibe. Li vir e ku guherîn û devîasyona standard tê de ne - ew pîvanên sereke ne ku çiqas dane ji nirxa xwe ya navendî diguherin. Ev gotar li ser têgeh, formul, şîrove û mînakên sepandina wan di analîza daneyan de nîqaş dike.
1. Çima Belavkirina Daneyan Girîng e?
Belavbûna daneyan agahî li ser hevgirtin û rîskê peyda dike. Bo nimûne, di çarçoveya puanên testan de, navînîya polên A û B dikare her duyan jî 80 be. Lêbelê, heke guherîna di puanên pola A de piçûk be, piraniya xwendekaran bi heman rengî performansê nîşan didin. Berevajî vê, heke guherîna di puanên pola B de mezin be, mimkun e ku hin xwendekar puanên pir bilind û yên din jî puanên pir nizm hebin. Di karsaziyê de, belavbûna daneyên firotanê îstîqrara dahatê nîşan dide; di darayî de, belavbûna vegera veberhênanê asta rîskê nîşan dide.
Bi têgihîştina guherbarî û devîasyona standard, biryarder dikarin:
- Nirxandina ka pêvajoyek stabîl e an na (mînak hilberîna kargehê).
- Berawirdkirina hevgirtinê di navbera koman de (mînak du rêbazên fêrbûnê).
- Destnîşankirina daneyên derveyî yên ku hêjayî nirxandinê ne.
- Texmînkirina nezelaliyê di pêşbînî û modelan de.
2. Têgeha bingehîn a Cûdahiyê
Cûdahî cudabûna çargoşeyî ya navînî ya her komek daneyan ji navînî dipîve. Cûdahî cudahiya di navbera nirxên daneyan û navînî de ye. Ger gelek nirx ji navînî dûr bin, cûdahî dê mezin be. Ger nirx nêzîkî navînî bin, cûdahî dê piçûk be.
Ferz bike ku daneyên jêrîn hene: \(x_1, x_2, …, x_n\) bi navîniya \(\bar{x}\). Devîasyona her daneyê \(x_i – \bar{x}\) ye. Lêbelê, heke devîasyon rasterast werin zêdekirin, encam her gav sifir e ji ber ku devîasyonên erênî û neyînî hene ku hevûdu betal dikin. Ji bo derbaskirina vê yekê, devîasyon têne çargoşe kirin da ku hemî erênî bin. Li vir guherîn çêdibe.
a) Cûdahiya Nifûsê
Eger daneyên ku tevahiya nifûsê temsîl dikin werin hesibandin, guherîna nifûsê wiha tê nivîsandin:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
mera:
– \(N\) hejmara daneyên nifûsê ye,
– \(\mu\) navînîya nifûsê ye,
– \(\sigma^2\) guherbariya nifûsê ye.
b) Cûdahiya Nimûneyê
Eger daneyên nimûneyek ji nifûseke mezintir bin, guherbariya nimûneyê tê bikaranîn:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n-1}
\]
Parveker \(n-1\) wekî rastkirina Bessel tê binavkirin, û tê bikar anîn da ku piştrast bike ku texmîna guherbariyê ji bo nifûsê bêalî ye. Di bingeh de, ji ber ku navîniya nimûneyê ji daneyan bixwe tê hesibandin, "windabûna pileya azadiyê" heye, ji ber vê yekê dabeşker li gorî wê tê sererast kirin.
3. Devîasyona Standard: Koka Cûdahiyê
Cûdahiyê kêmasiyeke pratîkî heye: yekîneyên wê çargoşeya yekîneyên daneyan in. Ger daneyên bi "rupiah" bin, guherîn bi "rupiah²" ye, ku şîrovekirina rasterast dijwar e. Ji ber vê yekê, em devîasyona standard bikar tînin, ku ew jî koka çargoşe ya guherînê ye.
a) Devîasyona Standard a Nifûsê
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
b) Devîasyona Standard a Nimûneyê
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
Yekeyên pîvandina devîasyona standard wekî daneyên orîjînal in, ev yek têgihîştina wê hêsantir dike. Devîasyona standard a bilind nîşan dide ku daneyên belavtir in; devîasyona standard a nizm nîşan dide ku komek daneyên bêtir kom in.
4. Nimûneya Hesabkirina Hêsan
Bo nimûne, daneyên puana testê: 70, 75, 80, 85, 90.
1) Navînî hesab bike:
\[
\bar{x} = \frac{70+75+80+85+90}{5} = 80
\]
2) Jihevqetîna her nirxê ji navînî hesab bike:
– 70: \(70-80=-10\)
– 75: \(75-80=-5\)
– 80: \(80-80=0\)
– 85: \(85-80=5\)
– 90: \(90-80=10\)
3) Derbasbûnê çargoşe bike:
– 100, 25, 0, 25, 100
4) Li hev zêde bikin:
\[
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 250
\]
5) Cûdahiya nimûneyê:
\[
s^2 = \frac{250}{5-1} = 62.5
\]
6) Nimûneya devîasyona standard:
\[
s = \sqrt{62.5} \nêzîkî 7.91
\]
Şîrovekirin: puana navînî 80 e, û puanên "bi gelemperî" bi qasî 7-8 puanan ji navînî cuda dibin.
5. Şîrovekirina Cûdahî û Devîasyona Standard
Cûdahî û devîasyona standard ne tenê hejmar in; divê ew di çarçoveyê de werin şîrovekirin.
– Devîasyona standard a piçûk: hevgirtineke bilind. Bo nimûne, pêvajoyeke hilberînê bi devîasyona standard a pir piçûk di mezinahiya hilberê de qalîteyek stabîl nîşan dide.
- Devîasyona standard a mezin: guherîna bilind. Di veberhênanê de, devîasyona standard a bilind a vegeran tê wateya neguhêrbarîya bilind (rîska bilindtir).
- Berawirdkirina di navbera koman de: eger du kom xwedî navînîyek wekhev bin lê devîasyonên standard ên cuda bin, koma xwedî devîasyona piçûktir homojentir e.
Lêbelê, girîng e ku meriv ji bîr neke ku devîasyona standard ji nirxên derveyî re hesas e. Nirxek ekstrem a yekane dikare guherbarî û devîasyona standard bi girîngî zêde bike. Ji ber vê yekê, analîza belavkirinê pir caran bi dîtbarîkirinan (hîstogram, boxplots) an pîvanên bihêz ên wekî IQR (range interquartile) tê temam kirin.
6. Têkiliya bi Belavkirina Normal û Qanûnên Empîrîk re
Di belavkirineke normal de (xêza zengilê), devîasyona standard xwedî wateyeke pir xurt e. Qaydeyeke empîrîk heye ku pir caran tê bikaranîn:
– Nêzîkî %68ê daneyan di navbera \(\bar{x} \pm 1s\) de ne.
– Nêzîkî %95ê daneyan di navbera \(\bar{x} \pm 2s\) de ne.
– Nêzîkî %99,7ê daneyan di navbera \(\bar{x} \pm 3s\) de ne.
Ev qaîde dibe alîkar ku şîroveyên bilez bên kirin, bo nimûne nirxandina ka nirxek "ne xwezayî" ye an hîn jî di nav rêza giştî de ye.
7. Serlêdan di Warên Cûrbecûr de
1) Perwerde: Çavdêrîkirina belavkirina notên xwendekaran. Cudahiyên piçûk encamên fêrbûnê yên wekhev nîşan didin, lê cudahiyên mezin dikarin kêmasiyên di têgihîştinê de nîşan bidin.
2) Pîşesazî: kontrola kalîteyê. Cûdahî ji bo nirxandina yekrengiya hilberînê tê bikar anîn.
3) Darayî: neguhêrbarîya bihayê senedên, vegera portfoliyoyê, û rîska veberhênanê dipîve.
4) Tendurustî: çavdêrîkirina guherînên di tansiyona xwînê, asta şekir, an nîşaneyên din ên klînîkî de di nifûsa nexweşan de.
5) Lêkolîna civakî: nirxandina nehevsengiya bersivên anketê û cûrbecûriya taybetmendiyên bersivkaran.
8. Xeletiyên Hevpar û Serişteyên Pratîkî
Hin şaşiyên hevpar:
– Bikaranîna guherîna nimûneyê (dabeşker \(n-1\)) her çend daneyên tevahiya nifûsê bin jî, an berevajî vê.
- Guherînê bêyî ku yekîneyên wê yên çargoşe li ber çavan bigirin şîrove bike; ji bo şîrovekirinê bikaranîna devîasyona standard ewletir e.
- Ji nirxên derveyî dûr bisekinin; çêtirîn e ku pêşî daneyan kontrol bikin.
- Devîasyonên standard ên di navbera daneyan de bi pîvanên cuda bêyî normalîzekirinê bidin ber hev; di hin rewşan de, ji bo berawirdkirinek dadmendtir katsayiya guherînê (CV) bikar bînin ango \(CV = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%\).
Penutup
Cûdahî û devîasyona standard amûrên bingehîn in ji bo têgihîştina belavbûna daneyan. Cûdahî bingehek matematîkî ya bihêz peyda dike, lê devîasyona standard pîvanek peyda dike ku şîrovekirina wê hêsantir e ji ber ku ew dişibihe daneyên orîjînal. Bi karanîna van her du pîvanan, em dikarin hevgirtin, xetere û cûdahiyên di taybetmendiyên belavkirinê de di navbera setên daneyan de bi zelaltir binirxînin. Di pratîka analîza daneyan de, guherîn û devîasyona standard çêtirîn e ku bi pîvanên meyla navendî û dîtbarîkirinê re werin bikar anîn da ku wêneyek bêkêmasî ya daneyan peyda bikin û biryarên agahdartir bidin.
Heke hûn bixwazin, ez dikarim mînakên hesabkirinê yên tevlihevtir lê zêde bikim (mînak daneyên komkirî), an jî têkiliya devîasyona standard bi xala z û tespîtkirina derveyî re rave bikim.
