Riemann Sum: Yek ji Stûnên Hesaba Entegral
Di matematîkê de, bi taybetî di hesabkirina entegralê de, têgeha berhevoka Riemann roleke girîng dilîze. Ev rêbaz, ku ji hêla matematîkzanê navdar ê Alman Bernhard Riemann ve hatiye pêşkêşkirin, rêyek girîng e ji bo pênasekirina entegrasasyona fonksiyonekê li ser navberek diyarkirî. Fêmkirina berhevoka Riemann dihêle ku em rûbera di bin xêzekê de texmîn bikin, ku ev serîlêdanek girîng e di gelek warên zanist û teknolojiyê de, ji fîzîkê bigire heya aboriyê.
Ji bo fêmkirina bingeha berhevoka Riemann, divê em hêmanên wê yên bingehîn, di nav de dabeşkirina navberan, destnîşankirina xalên nirxandinê, çêkirina berhevokan û sepandina wan di entegrasyonê de, lêkolîn bikin. Werin em di vê mijarê de kûrtir lêkolîn bikin.
Pêşgotinek li ser Têgehên Bingehîn
Kombûna Riemann rêbazek e ji bo hesabkirina entegrala diyarkirî ya fonksiyonekê li ser navberek girtî \([a, b]\). Ev rêbaz dabeşkirina navberê di navberên piçûktir de, nirxandina fonksiyonê li xalên taybetî di her navberê de, û dûv re komkirina berhemên nirxên fonksiyonê bi dirêjahiya navberên têkildar vedihewîne.
Dabeşkirina Navberê
Gava yekem di pênasekirina berhevoka Riemann de ew e ku navbera \([a, b]\) li navberên bi dirêjahiyek diyarkirî were dabeş kirin. Bifikirin ku navbera \([a, b]\) li \(n\) beşên wekhev hatiye dabeş kirin, wê hingê:
\[ \Delta x = \frac{b – a}{n} \]
Her bininterval xwedî dirêjahiya \(\Delta x\) e, û ev xalên dabeşkirinê bi gelemperî \((x_0, x_1, x_2, …, x_n)\) ne, ku \(x_0 = a\), \(x_1 = a + \Delta x\), \(x_2 = a + 2\Delta x\), û hwd. heta \(x_n = b\) berdewam dike.
Destnîşankirina Xala Nirxandinê
Ji bo her binnavberê \([x_{i-1}, x_i]\), xalek nirxandinê \(x_i\) hewce ye ku di nav wê binnavberê de be. Ev xal dikare wiha were destnîşankirin:
1. Xala Çepê: \(x_i^ = x_{i-1}\)
2. Xala Rast: \(x_i^ = x_i\)
3. Xala navîn: \(x_i^ = \frac{x_{i-1} + x_i}{2}\)
4. Xalên Rasthatî: Her \(x_i \) xalek rasthatî ye di \([x_{i-1}, x_i]\) de.
Hilbijartina xalên nirxandinê dikare bandorê li ser encama berhevoka Riemann bike, nemaze heke fonksiyon neberdewam be an jî guherînek bilez hebe.
Pêkhatina Sum
Dema ku dabeşkirina navberê û destnîşankirina xala nirxandinê qediya, gava din ew e ku nirxa fonksiyonê li her xala nirxandinê \(f(x_i^ )\) were hesab kirin û wê nirxê bi dirêjahiya binnavberê \(\Delta x\) were zêdekirin. Kombûna Riemann \(R\) wiha tê pênase kirin:
\[ R = \sum_{i=1}^nf(x_i^ ) \Delta x \]
Dema ku hejmara binintervalan \(n\) bê sînor (\(n \rightarrow \infty\)) tê zêdekirin, dirêjahiya binintervalê \(\Delta x\) bêdawî piçûk dibe û berhevoka Riemann nêzîkî entegrala fonksiyona \(f\) li ser intervalê \([a, b]\) dibe. Ev nîşana sînor wiha tê nivîsandin:
\[ \int_a^bf(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i^ ) \Delta x \]
Nimûneya Bicîhanîna Sûma Riemann
Wekî mînakek, em berhevoka Riemann bikar bînin da ku entegrala fonksiyona \(f(x) = x^2\) li ser navbera \([0, 1]\) diyar bikin.
Gava 1: Dabeşkirina Navberî
Ferz bikin ku em navbera \([0, 1]\) dabeşî \(n\) bin-navberên bi dirêjahiya wekhev dikin, wê hingê dirêjahiya bin-navberan ev e:
\[ \Delta x = \frac{1 – 0}{n} = \frac{1}{n} \]
Gava 2: Xala Nirxandinê
Xala navîn \(x_i \) bikar bîne ji bo nirxandina fonksiyonê li ser her binnavberê \([x_{i-1}, x_i]\):
\[ x_i^ = \frac{x_{i-1} + x_i}{2} = \frac{\left(\frac{i-1}{n}\right) + \left(\frac{i}{n}\right)}{2} = \frac{2i – 1}{2n} \]
Gava 3: Tevahî Hesab Bike
Nirxa fonksiyona \(f(x_i^ ) = \left( \frac{2i – 1}{2n} \right)^2 = \frac{(2i-1)^2}{4n^2}\), wê demê berhevoka Riemann dibe:
\[ R = \sum_{i=1}^nf\left(\frac{2i – 1}{2n}\right) \Delta x = \sum_{i=1}^n \frac{(2i-1)^2}{4n^2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{4n^3} \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 \]
Bi nirxandineke bêtir, berhevoka çargoşeyên hejmarên tek sembola sigma dide ku dikare hê bêtir were hêsankirin heta ku bigihîje sînorê.
Di dawiyê de, her ku \(n\) ber bi bêdawîbûnê ve diçe, nirxa berhevoka Riemann dê nêzîkî encama entegrala rast bibe:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4n^3} \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 = \frac{1}{3} \]
Û di encama analîtîk a entegralê de em digirin:
\[ \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \]
Guhertoyên û Serlêdanên Komên Riemann
Ji bilî entegrasyona kevneşopî, berhevoka Riemann guhertoyên din jî hene, di nav wan de berhevoka Riemann-Kronecker û berhevoka Riemann-Stieltjes ji bo qadên metrîk û sepanên berfirehtir di analîza fonksiyonel de. Ew her weha bingeha rêbazên hejmarî yên wekî rêbazên Trapzoid û Simpson ên ku di hesabkirina zanistî de têne bikar anîn pêk tîne.
Girtin
Jimareyên Riemann rêbazek xurt û nerm peyda dikin ji bo pênasekirin û hesabkirina entegralan di gelek çarçoveyên matematîkî de. Wekî amûrek hînkirinê ji bo pirsgirêkên bingehîn ên entegralan di hesabkirinê de, têgihîştinek kûr a vê têgehê têgihîştinê li ser sepanên berfirehtir ên entegralan di jiyana rast de, hem di zanistên rast de û hem jî di warên civakî-aborî de vedike. Bernhard Riemann ne tenê teoriya matematîkî bi vê vedîtinê dewlemend kir, lê di heman demê de rêyên nû di analîza entegralê ya nûjen de jî vekir.
