Nimûneyên Pirsên ku Vektor û Karên Wan Diaxivin
Vektor di matematîk û fîzîkê de têgeheke bingehîn e, ku pir caran di warên zanistî yên cûrbecûr de tê bikar anîn. Vektor hejmarên bi hem mezinahî û hem jî bi rêwerzê temsîl dikin. Li jêr çend mînakên pirsgirêkên ku vektoran tê de hene û nîqaşên li ser operasyonên cûrbecûr ên wekî komkirin, jêkirin û pirbûna bi skalaran hene. Ev gotar dê têgihîştinek kûr a çawaniya çareserkirina pirsgirêkên ku vektoran tê de hene peyda bike.
1. Zêdekirina Vektoran
Nimûneya Pirsa 1
Du vektor di forma pêkhateyan de hatine dayîn:
A = (3, 4)
B = (1, 2)
Encama komkirina vektorên A û B hesab bike.
Nîqaş
Zêdekirina vektoran bi zêdekirina pêkhateyên têkildar ên her du vektoran tê kirin. Bi vî awayî, em dikarin hesab bikin
\[
A + B = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
Ji ber vê yekê, encama komkirina vektorên A û B (4, 6) e.
2. Kêmkirina Vektoran
Nimûneya Pirsa 2
Du vektor di forma pêkhateyan de hatine dayîn:
C = (5, 7)
D = (2, 3)
Encama jêbirina vektor C ji vektor D hesab bike.
Nîqaş
Jêbirina vektoran bi jêbirina pêkhateyên hevber ên her du vektoran tê kirin. Bi vî awayî, em dikarin hesab bikin
\[
C – D = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Ji ber vê yekê, encama jêbirina vektorên C û D (3, 4) e.
3. Pirbûna Vektoran bi Skalaran
Nimûneya Pirsa 3
Vektor E = (4, -2) û skalar k = 3 hatine dayîn. Encama pirbûna vektor E bi skalar k hesab bike.
Nîqaş
Pirbûna vektorekê bi skalarekê bi pirbûna her pêkhateya vektorê bi skalarekê tê kirin. Bi vî awayî, em dikarin hesab bikin
\[
k E = 3 (4, -2) = (3 4, 3 -2) = (12, -6)
\]
Ji ber vê yekê, encama pirbûna vektor E bi skalar k (12, -6) e.
4. Berhema Xalan
Nimûneya Pirsa 4
Du vektor di forma pêkhateyan de hatine dayîn:
F = (1, 3)
G = (4, 2)
Berhema xalî ya vektorên F û G hesab bike.
Nîqaş
Berhema xalî ya du vektoran berhevoka berhemên pêkhateyên wan ên beramber e. Bi vî awayî, em dikarin hesab bikin
\[
G = (1 4) + (3 2) = 4 + 6 = 10
\]
Ji ber vê yekê, berhema xalî ya vektorên F û G 10 e.
5. Berhema Navber
Nimûneya Pirsa 5
Du vektor di 3D de hatine dayîn:
H = (2, -3, 1)
Ez = (1, 4, -2)
Berhema xaçerêyî ya vektorên H û I hesab bike.
Nîqaş
Berhema xaçerêyî ya du vektorên 3-alî ji hêla diyarkerê matrîksê ve tê hilberandin ku pêkhateyên her du vektoran dihewîne. Vektora encam pêkhateyên jêrîn hene:
\[
H \times I = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 û -3 û 1 \\
1 û 4 û -2 \\
\end{vmatrix}
\]
Bi hesabkirina diyarkerê, em digirin:
\[
H caran I = (\mathbf{i}((-3)(-2) – (1)(4)) – \mathbf{j}(2(-2) – (1)(1)) + \mathbf{k}(2(4) – (-3)(1)))
\]
\[
= (\mathbf{i}(6 – 4) – \mathbf{j}(-4 – 1) + \mathbf{k}(8 + 3))
\]
\[
= (\mathbf{i}(2) – \mathbf{j}(-5) + \mathbf{k}(11))
\]
\[
= (2, 5, 11)
\]
Ji ber vê yekê, berhema xaçerêyî ya vektorên H û I (2, 5, 11) e.
6. Dirêjahî an Mezinahiya Vektorê
Nimûneya Pirsa 6
Vektorek J = (6, 8) were dayîn. Dirêjahiya (mezinahiya) vektor J hesab bike.
Nîqaş
Dirêjahiya (mezinahiya) vektorekê bi karanîna vê formulê tê hesibandin:
\[
J = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
Di vê rewşê de, \(x = 6\) û \(y = 8\), da ku:
\[
\| J \| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\]
Ji ber vê yekê, dirêjahiya (mezinahiya) vektor J 10 e.
7. Vektora Yekîneyê
Nimûneya Pirsa 7
Vektorek K = (-5, 12) hat dayîn. Vektora yekîneya K bibîne.
Nîqaş
Vektorê yekîneyî ew vektor e ku dirêjahiya wê 1 e. Ji bo dîtina vektorê yekîneyî yê vektorê, divê em her pêkhateya vektorê li ser dirêjahiya (mezinahiya) vektorê dabeş bikin. Dirêjahiya vektorê K dikare wiha were hesibandin:
\[
\| K \|= \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Hingê vektora yekîneyê K ev e:
\[
\hat{K} = \left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\rast)
\]
Ji ber vê yekê, vektora yekîneyî ya vektor K \(\left(\frac{-5}{13}, \frac{12}{13}\right)\) ye.
Xelasî
Bi rêya mînakên jorîn, me dît ku vektor û operasyonên wan çawa di rewşên cûrbecûr de dixebitin. Komkirin û jêkirina vektoran komkirin û jêkirina pêkhateyên têkildar digire nav xwe. Pirbûna vektoran dikare bi şêweya berhema skalar an xalî, û ji bo vektorên 3D jî bi şêweya berhema xaçerê were kirin. Em dikarin heta dirêjahiya vektorekê diyar bikin û vektora wê ya yekîneyê bibînin.
Fêmkirina van têgehên bingehîn pir girîng e ji ber ku vektor di gelek serlêdanan de li seranserê cûrbecûr waran de têne bikar anîn, di nav de fîzîk, endezyarî û grafîkên komputerê. Bi pratîka têr, em dikarin van operasyonan fêr bibin û wan di analîz û çareserkirina pirsgirêkan de tevlihevtir bicîh bînin.
