Nimûneyên Pirs û Gotûbêjê: Cûdahî û Devîasyona Standard a Daneyên Tekane
Îstatîstîk şaxek ji matematîkê ye ku bi berhevkirin, analîzkirin, şîrovekirin, pêşkêşkirin û rêxistinkirina daneyan ve mijûl dibe. Du têgehên girîng di îstatîstîkê de guherbarî û devîasyona standard in. Ev gotar dê bi berfirehî nîqaş bike ka meriv çawa guherbarî û devîasyona standard a komek daneyan bi rêya çend pirsgirêkên mînakî hesab dike.
Têgihîştina Cûdahî û Devîasyona Standard
Cûdahî pîvanek e ku nîşan dide ka hejmarên di komek daneyan de çiqas ji navînî an jî averajê belav bûne. Cûdahî bi yekîneyên çargoşe yên daneyên orîjînal tê îfade kirin, ku pir caran şîrovekirina wê dijwar dike.
Devîasyona standard koka çargoşe ya guherînê ye. Ew pîvanek hêsan peyda dike ka daneyên bi gelemperî çiqas ji navînî dûr dikevin ji ber ku yekîneyên wê bi yekîneyên orîjînal ên daneyan re yek in.
Formula Giştî
Ji bo daneyên yekane, formula ji bo guherîna \( \sigma^2 \) û devîasyona standard \( \sigma \) ya nifûsê wiha ye:
1. Guherîn (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Devîasyona Standard (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Ko:
– \( N \) hejmara daneyan di nifûsê de ye.
– \( x_i \) nirxa daneya i-emîn e.
– \( \mu \) navînî an jî asteke navînî ya daneyan e.
Eger em guherîn û devîasyona standard a nimûneyê hesab bikin, wê demê formula jorîn hinekî tê guhertin:
1. Cûdahiya Nimûneyê (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Nimûneya Devîasyona Standard (an):
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Ko:
– \(n \) hejmara daneyan di nimûneyê de ye.
– \( \bar{x} \) navînî an jî asteke navînî ya nimûneyê ye.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Nimûneya Pirsa 1:
Bi daneyên jêrîn:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Guherîn û devîasyona standard a daneyan hesab bike!
Gavên Çareseriyê:
1. Hesabkirina Navînî (Mean) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Cudahiya di navbera daneyan û navînî de hesab bike, paşê çargoşe bike:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Zêdekirina Hemû Encamên Çargoşekirî:
\[
\ sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Hesabkirina Cûdahiya (σ²) ya Daneyên Nifûsê:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Têbînî: Ji ber ku ev dane wekî daneyên nifûsê hatine destnîşankirin, em li ser 6 dabeş dikin.
5. Hesabkirina Devîasyona Standard (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \nêzîkî 1.886
\]
Ji ber vê yekê, guherîna daneyan 3.559 e û devîyasyona standard 1.886 e.
Nimûneya Pirsa 2:
Bi daneyên nimûne yên jêrîn:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Guherîn û devîasyona standard a nimûneyê hesab bike!
Gavên Çareseriyê:
1. Hesabkirina Navînî (Mean) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Cudahiya di navbera daneyan û navînî de hesab bike, paşê çargoşe bike:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Zêdekirina Hemû Encamên Çargoşekirî:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Hesabkirina Guherîna Nimûneyê (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Têbînî: Ji ber ku ev daneyên nimûne ne, em bi 5 (n-1) dabeş dikin.
5. Hesabkirina Devîasyona Standard (an):
\[
s = \sqrt{5.351} \nêzîkî 2.313
\]
Ji ber vê yekê, guherbariya daneyên nimûneyê 5.351 û deviyasyona standard 2.313 e.
Xelasî
Hesabkirina guherbarî û devîasyona standard ji bo têgihîştina ka daneyên di nav komek diyarkirî de çawa belav bûne girîng e. Her çend guherbarî pîvanek teorîk a belavbûna di çargoşeyên yekîneyên orîjînal de peyda dike jî, devîasyona standard pîvana belavbûnê li gorî yekîneyên orîjînal ên daneyan şîrove dike, û têgihîştina wê hêsantir dike. Di analîza daneyan de, ev her du pîvan pir caran ji bo nirxandina guherbariya daneyan û dayîna biryarên îstatîstîkî têne bikar anîn.
Bi têgihîştina gav û formulên pêwîst, em dikarin bi hêsanî guherîn û devîasyona standard ji bo rewşên cûrbecûr ên ku em di berhevkirin û analîzkirina daneyên rojane de rastî wan tên hesab bikin. Hêvîdarim ku ev gotar têgihîştinek kûrtir a têgehên guherîn û devîasyona standard di setên daneyên yekane de peyda bike.
