Pirsên Nimûne û Nîqaşkirina Dereceyên Fonksiyonê
Derîvat têgeheke bingehîn e di hesabkirinê de ku di gelek sepanên matematîk, fîzîk, endezyariyê û zanistên din de roleke girîng dilîze. Di vê gotarê de, em ê çend mînakên derivatan û çareseriyên wan nîqaş bikin. Fêmkirina têgeha derivatê dê sepandina wê li ser pirsgirêkên cûrbecûr hêsantir bike.
Têgihîştina bingehîn a derivatîfan
Derana fonksiyonê rêjeya guherîna fonksiyonê li gorî guhêrbarê serbixwe vedibêje. Bi awayekî întuîtîv, deriana fonksiyonê \(f(x)\) li xala \(x\) meyla xêza tangentê ya li ser xêza \(f\) li xala \(x\) ye. Nîşana hevpar a ku ji bo derivanê tê bikar anîn \(f'(x)\) an jî \( \frac{df}{dx}\) e.
Rêzikên bingehîn ên derivatîfan
Ji bo çareserkirina pirsgirêkên derivatîfê, divê em çend rêzikên bingehîn ên derivatîfê bizanibin:
1. Dereceya Sabît: Eger \(c\) sabît be, wê demê derîceya \(c\) sifir e.
\[
\frac{d}{dx}(c) = 0
\]
2. Dereceya Fonksiyona Xêzikî: Eger \( f(x) = mx + b \), ku \( m \) û \( b \) sabît bin, wê demê:
\[
f'(x) = m
\]
3. Qanûna Hêzê: Eger \( f(x) = x^n \), ku \(n \) hejmareke rastîn be, wê demê:
\[
f'(x) = nx^{n-1}
\]
4. Qanûna Komkirinê: Eger \( f(x) = g(x) + h(x) \), wê demê:
\[
f'(x) = g'(x) + h'(x)
\]
5. Qanûna Pirzêdekirinê: Eger \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \), wê demê:
\[
f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
\]
6. Qanûna Dabeşkirinê: Eger \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \), wê demê:
\[
f'(x) = \frac{g'(x)h(x) – g(x)h'(x)}{h(x)^2}
\]
7. Qaîdeya Zincîrê: Eger \( f(x) = g(h(x)) \), wê demê:
\[
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
\]
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Nimûneya Pirsa 1
Pirsyar: Derana \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) diyar bike.
Gotûbêj:
Ji bo diyarkirina derîvata fonksiyonê, em ê qaîdeya hêzê û qaîdeya berhevkirinê bikar bînin.
\[
f(x) = 3x^2 + 2x + 1
\]
Derivatîf ev in:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1)
\]
Li ser bingeha qaîdeya rêzê:
\[
\frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x
\]
\[
\frac{d}{dx}(2x) = 2 \cdot 1x^{1-1} = 2
\]
\[
\frac{d}{dx}(1) = 0
\]
Ji ber vê yekê, derivatîfa fonksiyona \(f \) ev e:
\[
f'(x) = 6x + 2
\]
Nimûneya Pirsa 2
Pirsyar: Derana fonksiyonê \( g(x) = (2x^3 – x)(x^2 + 3) \) diyar bike.
Gotûbêj:
Ji bo çareserkirina vê pirsgirêkê, em ê qaîdeya pirjimariyê bikar bînin.
\[
g(x) = (2x^3 – x)(x^2 + 3)
\]
Ji ber vê yekê, derivatîfa \(g(x)\) ev e:
\[
g'(x) = (2x^3 – x)'(x^2 + 3) + (2x^3 – x)(x^2 + 3)'
\]
Pêşî, em derîvatîva her fonksiyonê destnîşan dikin:
\[
(2x^3 – x)' = 6x^2 – 1
\]
\[
(x^2 + 3)' = 2x
\]
Paşê em wê di formulê de vedigirin:
\[
g'(x) = (6x^2 – 1)(x^2 + 3) + (2x^3 – x)(2x)
\]
Piştre, em dabeş dikin:
\[
g'(x) = 6x^2 x^2 + 6x^2 3 – 1 x^2 – 1 3 + 2x^3 2x – x 2x
\]
\[
g'(x) = 6x^4 + 18x^2 – x^2 – 3 + 4x^4 – 2x^2
\]
Di dawiyê de, em digihîjin:
\[
g'(x) = 10x^4 + 15x^2 – 3
\]
Nimûneya Pirsa 3
Pirsyar: Derana \( h(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 1} \) bibîne.
Gotûbêj:
Ji bo çareserkirina vê pirsgirêkê, em ê qaîdeya dabeşkirinê bikar bînin.
\[
h(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 1}
\]
Ji ber vê yekê, derivatîfa \(h(x)\) ev e:
\[
h'(x) = \frac{(x^2 + 1)'(x – 1) – (x^2 + 1)(x – 1)'}{(x – 1)^2}
\]
Pêşî, em derîvatîva her fonksiyonê destnîşan dikin:
\[
(x^2 + 1)' = 2x
\]
\[
(x – 1)' = 1
\]
Paşê em wê di formulê de vedigirin:
\[
h'(x) = \frac{2x(x – 1) – (x^2 + 1)(1)}{(x – 1)^2}
\]
Piştre, em dabeş dikin:
\[
h'(x) = \frac{2x^2 – 2x – x^2 – 1}{(x – 1)^2}
\]
Paşê em hêsan bikin:
\[
h'(x) = \frac{x^2 – 2x – 1}{(x – 1)^2}
\]
Xelasî
Derana fonksiyonê têgeheke bingehîn e di hesabkirinê de ku agahdarî li ser rêjeya guherîna nirxa fonksiyonê li gorî guhêrbarê wê yê serbixwe peyda dike. Bi têgihîştina qaîdeyên bingehîn ên derxistinê, wekî deriana sabît, fonksiyonên xêzikî, qaîdeya hêzê, berhevkirin, pirbûn û dabeşkirin, û qaîdeya zincîrê, em dikarin gelek pirsgirêkên derivanê çareser bikin.
Nimûneyên pirsgirêkên ku li jor hatine nîqaşkirin gaveke baş a yekem in ji bo têgihîştina ka meriv çawa têgeha derivatan bikar tîne. Di pratîkê de, jêhatîyên di hesabkirina derivatan de dê bi xebata bi celebên cûda yên pirsgirêkan û guhertoyên fonksiyonan re bêtir werin pêşxistin. Hêvîdarim ku ev gotar di têgihîştin û serweriya têgeha derivata fonksiyonekê de alîkar bûbe.
