Nimûneya Pirsên Gotûbêja Permutasyonê
Permutasyon ji nû ve rêzkirina komek an tiştan bi rêzek diyarkirî ye. Di matematîkê de, ev têgeh bi gelemperî ji bo hesabkirina çend awayan tê bikar anîn ku komek tiştan dikarin werin rêzkirin. Li jêr, em ê çend mînakên pirsgirêkên permutasyonê û ravekirinên wan ên berfireh nîqaş bikin.
Pênasîna Permutasyonê
Permutasyona komekê ji nû ve rêzkirina hêmanên wê di rêzek taybetî de ye. Ger \(n\) tişt hebin, permutasyon bi \(P(n)\) an jî bi taybetîtir, \(P(n, r)\) ji bo \(r\) permutasyonên \(n\) tiştan tê destnîşankirin. Formula bingehîn a permutasyonê ev e:
\[ P(n) = n! \]
ku \(n!\) (n faktorîel) berhema hemû hejmarên erênî yên kêmtir an jî wekhevî \(n\) ye.
Di heman demê de, formula permutasyonê (r) ya objeyên (n) ev e:
\[ P(n, r) = \frac{n!}{(nr)!} \]
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Nimûneya Pirsa 1
Pirsegirêk:
4 pirtûkên cuda bi çend awayan dikarin li ser refikekê werin rêzkirin?
Nîqaş:
Ji bo rêzkirina 4 pirtûkên cuda, em dikarin formula permutasyonê bikar bînin da ku hemî rêzkirina gengaz a pirtûkan hesab bikin:
\[ P(4) = 4! = 4 caran 3 caran 2 caran 1 = 24 \]
Ji ber vê yekê, 24 rê hene ku meriv 4 pirtûkên cûda li ser refikekê rêz bike.
Nimûneya Pirsa 2
Pirsegirêk:
Çend rêbazên gengaz hene ku 3 endamên tîmek 5-endamî bi rêzek diyarkirî werin hilbijartin û rêzkirin?
Nîqaş:
Em formula permutasyonê \(P(n, r)\) bi kar tînin ku \(n = 5\) û \(r = 3\):
\[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \car 4 \car 3 \car 2!}{2!} = 5 \car 4 \car 3 = 60 \]
Ji ber vê yekê, 60 rê hene ku meriv 3 endamên tîmek 5-endamî bi rêzek diyarkirî hilbijêre û rêz bike.
Nimûneya Pirsa 3
Pirsegirêk:
Peyva "MATH" bi çend awayan dikare were rêzkirin da ku ti tîp dubare nebin?
Nîqaş:
Peyva "MATH" ji çar tîpên cuda pêk tê. Em dikarin formula permutasyonê bikar bînin da ku hemî rêzikên gengaz ên van tîpan hesab bikin:
\[ P(4) = 4! = 4 caran 3 caran 2 caran 1 = 24 \]
Ji ber vê yekê, 24 rê hene ku meriv tîpan di peyva "MATH" de rêz bike.
Nimûneya Pirsa 4
Pirsegirêk:
Ji hejmarên 1, 2, 3, 4, 5, eger ti reqem neyên dubarekirin, çend hejmarên sê-reqemî dikarin werin çêkirin?
Nîqaş:
Ji bo çêkirina hejmareke sê-reqemî ji 5 reqemên cuda ku ti reqem dubare nebe, em permutasyona \(P(5, 3) \) bi kar tînin:
\[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \car 4 \car 3 \car 2!}{2!} = 5 \car 4 \car 3 = 60 \]
Ji ber vê yekê, 60 rê hene ku meriv hejmareke sê-reqemî ji reqemên 1, 2, 3, 4, û 5 bêyî dubarekirina yek reqemî çêbike.
Nimûneya Pirsa 5
Pirsegirêk:
6 lîstikvan hene, A, B, C, D, E, û F. Ew ê di rêza 3 lîstikvanên herî jor ên maçê de werin rêzkirin. Her sê lîstikvan dikarin bi çend awayan werin rêzkirin?
Nîqaş:
Li vir ji me tê xwestin ku 3 lîstikvanan ji tevahî 6 lîstikvanan bi rêzek diyarkirî rêz bikin. Formula ku tê bikar anîn permutasyona \(P(n, r)\) ye ku \(n = 6\) û \(r = 3\):
\[ P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \car 5 \car 4 \car 3!}{3!} = 6 \car 5 \car 4 = 120 \]
Ji ber vê yekê, 120 rê hene ku meriv 3 ji 6 lîstikvanan bi rêzek taybetî rêz bike.
Nimûneya Pirsa 6
Pirsegirêk:
Diyar bike ka çend guhertoyên peyva "UNIVERSITY" hene, da ku dengdêr her gav li kêleka hev bin.
Nîqaş:
Peyva "UNIVERSITY" ji 11 tîpan pêk tê, û dengdêrên wê U, I, E, I, A ne. Vê koma dengdêran wek yekîneyekê bihesibînin.
Ji ber vê yekê, me ev hene: (UIEIA), N, V, R, S, T, û S (wek yek yekîneyek tê hesibandin). Piştre divê em van 7 yekîneyan rêz bikin:
\[ P(7) = 7! = 5040 \]
Lêbelê, di koma vokal de (UIEIA), ew dikarin wiha werin rêzkirin:
\[ P(5) = 5! = 120 \]
Bi vî awayî, guhertinên tevahî ev in:
\[ 7! \car 5! = 5040 \car 120 = 604800 \]
Ji ber vê yekê, 604800 rê hene ku meriv peyva "UNIVERSITY" çêbike ku hemî dengdêr her gav li kêleka hev bin.
Xelasî
Permutasyon rêzkirina tiştan an koman bi rêzek diyarkirî ye, û ev têgeh di warên cûrbecûr de, di nav de matematîk, zanista komputerê û îstatîstîk, gelek sepandinên wê hene. Bi destnîşankirin û bicîhanîna formula guncaw, em dikarin bi hêsanî hejmara rêzkirina gengaz hesab bikin.
Nimûneyên hatine dayîn nîşan didin ka formulên permutasyonê çawa dixebitin û ew çawa dikarin di gelek rewşan de werin sepandin. Têgihîştineke kûr a permutasyonan ji bo çareserkirina pirsgirêkên tevlihev ên kombînatorîk girîng e û di pêşxistina mantiqa çareserkirina pirsgirêkan de pir biqîmet e.
