Nimûneyên Pirs û Gotûbêjên Serlêdana Entegralan di Hesabkirina Rûbera Balafirek Düz de
Di hînkirina matematîkê de, entegralan di hesabkirinê de pir caran têne dîtin. Yek ji sepanên herî navdar ên entegralan hesabkirina rûbera binê xêzek an jî rûberê ye. Ev gotar dê çend mînakên pirsgirêkan nîqaş bike û sepandina entegralan ji bo hesabkirina rûbera rûberê nîqaş bike.
Pêşgotinek li ser Teoriyê
Berî ku em derbasî pirsgirêka mînak bibin, em têgeha bingehîn a hesabkirina rûbera bin xêzekê bi karanîna entegralan binirxînin. Ger fonksiyoneke me ya f(x) hebe ku li ser navbera [a, b] berdewam e, wê demê rûbera bin xêza y = f(x) ji x = a heta x = b ev e:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Ji hêla geometrîkî ve, ev tê vê wateyê ku em rûbera çargoşeyek pir zirav ji x = a heta x = b berhev dikin.
Nimûneya Pirsa 1
Soal
Rûbera binê xêza y = x² di navbera [1, 3] de hesab bike.
Nîqaş
Ji bo hesabkirina rûberê, em entegralê bikar tînin:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Em bi dîtina dijderivata \(x^2\) dest pê dikin. Dijderivata \(x^2\) \(\frac{x^3}{3}\) ye. Hingê entegral dibe:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \rast]_{1}^{3} \]
Ji bîr mekin ku divê em dijderîvatê li ser sînorên entegralê binirxînin:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \rast) – \left( \frac{1}{3} \rast) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Ji ber vê yekê, rûbera di bin xêza y = x² de ji x = 1 heta x = 3 ev e:
\[ \frac{26}{3} \, \text{yekîneya rûberê} \]
Nimûneya Pirsa 2
Soal
Rûbera herêmê ya ku bi xêza y = x³ û xetên x = 1 û x = 2 ve hatiye sînordarkirin diyar bike.
Nîqaş
Ji bo hesabkirina rûberê, em entegralê bikar tînin:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Wekî her car, em bi dîtina dijderivata \(x^3 \) dest pê dikin. Dijderivata \(x^3 \) \( \frac{x^4}{4} \) ye. Integral dibe:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \rast]_{1}^{2} \]
Sînorên entegralê hesab bike:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \rast) – \left( \frac{1}{4} \rast) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Ji ber vê yekê, rûbera di bin xêza y = x³ de ji x = 1 heta x = 2 ev e:
\[ \frac{15}{4} \, \text{yekîneya rûberê} \]
Nimûneya Pirsa 3
Soal
Rûbera herêmê ya ku bi xêzên y = x² + 1 û y = 2x + 2 di navbera x = 0 û x = 1 de hatiye sînordarkirin diyar bike.
Nîqaş
Pêşî, divê em xalên hevbirînê bibînin da ku sînorên entegrasyonê diyar bikin. Çareseriya \(x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Bi karanîna formula çargoşeyî:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Lêbelê, ji bo sînorên jorîn û jêrîn ên di navbera 0 û 1 de, ne hewce ye ku em çareseriya çargoşeyî bikar bînin, tenê sînorê entegralê yê asayî ji 0 heta 1 bikar bînin. Piştre, li gorî van sînoran rûbera xêza jorîn a y kêm xêza jêrîn a y hesab bikin:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Hêsankirina fonksiyonê:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Piştre, em antîderîvatê dibînin:
Dijderîvata \((-x^2)\) \(-\frac{x^3}{3}\) ye,
Dijderîvata \((2x)\) \(x^2\) ye,
Dijderîvata \((1)\) \(x\) ye.
Heta,
\[ L = \çep. \çep(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \rast) \rast|_0^1 \]
Nirxandina din:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \rast] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \rast] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \rast] – \left[ 0 \rast] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Ji ber vê yekê, rûbera herêmê ku bi xêzên y = x² + 1 û y = 2x + 2 li ser navbera [0, 1] ve hatiye sînordarkirin ev e:
\[ \frac{5}{3} \, \text{yekîneya rûberê} \]
-
Ji mînakên jorîn, em dikarin bibînin ka çawa entegral dikarin ji bo hesabkirina rûbera di bin xêzekê de an di navbera du xêzan de werin bikar anîn. Bi têgihîştineke rast a têgehên bingehîn ên entegralan û teknîkên dij-derivatîf, hesabkirina van rûberan pir sîstematîk û bibandor dibe. Bi hêvî me ku ev gotar têgihîştina me ya li ser sepandina entegralan di cîhana rastîn de, nemaze di warê pîvandina rûbera rûberên asoyî de, zêde kiriye.
