Nimûneyên Pirsên ku Li Ser Sepandina Entegralan di Qada Aborî û Karsaziyê de Diaxivin
Pendahuluan
Entegral di hesabkirinê de têgeheke sereke ne û di warên cûrbecûr de, di nav de aborî û karsaziyê, gelek sepandinên wan hene. Di vê çarçoveyê de, entegral pir caran ji bo analîzkirina qezenca giştî, lêçûn, dahat, û fonksiyonên xerckirin û hilberînê têne bikar anîn. Fêmkirina sepandina entegralan di aborî û karsaziyê de ne tenê ji bo çareserkirina pirsgirêkên teknîkî dibe alîkar, lê di heman demê de têgihîştinên kûrtir li ser dînamîkên bazarê, biryardan û plansaziya stratejîk jî peyda dike.
Serlêdanên Entegral di Aborî û Karsaziyê de
1. Dahata Giştî Hesab Bike
Ji bo hesabkirina dahata giştî, em pir caran hewce ne ku dahatên piçûk ên ji firotina yekîneyên ferdî yên hilberekê werin berhev kirin. Ger bihayê hilberekê li gorî mîqdara firotî diguhere, wê hingê fonksiyona biha-mîqdar divê were entegre kirin da ku dahata giştî were destnîşankirin.
Nimûneya pirsgirêkan:
Ferz bike ku buhayê (p) yê kelûpelekê bi mîqdara berhema (q) ya firotî ve girêdayî ye, ku ev ji hêla fonksiyona jêrîn ve tê dayîn:
\[ p(q) = 100 – 2q \]
Ger 10 yekîneyên kelûpelan werin firotin, dahata giştî hesab bikin.
Çare:
Dahata giştî (R) entegrala bihayê li ser mîqdarê ye ku ji 0 heta Q yekîneyan diguhere.
\[ R = \int_{0}^{Q} p(q) \, dq \]
Bi \( p(q) = 100 – 2q \) û \( Q = 10 \):
\[ R = \int_{0}^{10} (100 – 2q) \, dq \]
Ji ber vê yekê, em entegralê hesab dikin:
\[ R = \çep[ 100q – q^2 \rast]_{0}^{10} \]
Sînorên entegralê hesab bike:
\[ R = \left( 100 \cdot 10 – 10^2 \right) – \left( 100 \cdot 0 – 0^2 \right) \]
\[ = 1000 – 100 \]
\[ = 900 \]
Ji ber vê yekê, heke 10 yekîneyên kelûpelan werin firotin, dahata giştî 900 e.
2. Mesrefa Giştî Hesab Bike
Bikaranîna entegralan di hesabkirina lêçûnên hilberînê yên giştî de pir bikêrhatî ye, nemaze dema ku lêçûnên marjînal ne sabît in û bi mîqdara hilberandî ve girêdayî ne. Mesrefên marjînal dikarin wekî derîvata lêçûnên giştî werin binavkirin, û ji bo dîtina lêçûnên giştî divê em entegralê bikin.
Nimûneya pirsgirêkan:
Eger lêçûna marjînal (MC) ji bo hilberîna yekîneyên (q) yên kelûpelekê bi vî awayî were dayîn:
\[ MC(q) = 50 + 3q^2 \]
Ger 5 yekîneyên kelûpelan werin hilberandin, bihesibînin ku lêçûnên sabît (C) yên 200 in, lêçûna giştî hesab bikin.
Çare:
Mesrefa giştî (TC) entegrala mesrefa marjînal û mesrefa sabît e:
\[ TC = \int_{0}^{Q} MC(q) \, dq + C \]
Bi \( MC(q) = 50 + 3q^2 \) û \( Q = 5 \):
\[ TC = \int_{0}^{5} (50 + 3q^2) \, dq + 200 \]
Em entegralê hesab dikin:
\[ TC = \çep[ 50q + q^3 \rast]_{0}^{5} + 200 \]
Sînorên entegralê hesab bike:
\[ TC = \left( 50 \cdot 5 + 5^3 \right) – \left( 50 \cdot 0 + 0^3 \right) + 200 \]
\[ = \çep( 250 + 125 \rast) + 200 \]
\[ = 375 + 200 \]
\[ = 575 \]
Ji ber vê yekê, lêçûna tevahî ya hilberîna 5 yekîneyan 575 e.
3. Hesabkirina Xerckirina Çavkaniyan
Integral her wiha ji bo hesabkirina tevahiya xerckirin an karanîna çavkaniyek di demek diyarkirî de têne bikar anîn. Ev bi taybetî di çarçoveyên karsaziyê de ku çavkaniyên wekî enerjî, materyal, an mirovan vedihewîne girîng e.
Nimûneya pirsgirêkan:
Rêjeya xerckirina enerjiya rojane (E) di kargehekê de li gorî fonksiyona eksponansiyel a jêrîn dimeşe:
\[ E(t) = 10e^{0.1t} \]
Bi tevahî xerckirina enerjiyê ya 10 rojan hesab bike.
Çare:
Tevahiya xerckirina enerjiyê (C) di heyama demê de [0, T] entegrala wan rêjeyên xerckirina enerjiyê ye:
\[ C = \int_{0}^{T} E(t) \, dt \]
Bi \( E(t) = 10e^{0.1t} \) û \( T = 10 \):
\[ C = \int_{0}^{10} 10e^{0.1t} \, dt \]
Ji bo hesabkirina entegralê, em dikarin teknîka cîhgirtinê bikar bînin:
Bila \(u = 0.1t\), paşê \(du = 0.1\, dt\), an jî \(dt = \frac{du}{0.1}\),
\[ C = \int_{0}^{1} 10e^{u} \frac{du}{0.1} \]
\[ = 100 \int_{0}^{1} e^{u} \, du \]
\[ = 100 \left[ e^{u} \rast]_{0}^{1} \]
Sînorên entegralê hesab bike:
\[ C = 100 \left( e^{1} – e^{0} \rast) \]
\[ = 100 \çep( e – 1 \rast) \]
Bi \(e \nêzîkî 2.718 \):
\[ C \nêzîkî 100 (2.718 – 1) \]
\[ = 100 caran 1.718 \]
\[ = 171.8 \]
Ji ber vê yekê, tevahiya xerckirina enerjiyê ji bo 10 rojan 171.8 yekîneyên enerjiyê ye.
Xelasî
Têgeha entegralan di aborî û karsaziyê de pir girîng e, ji ber ku ew dihêle ku analîst û biryarder guherbarên girîng ên wekî dahat, lêçûn û xerckirinê hesab bikin û pêşbînî bikin. Fêmkirina ka meriv çawa entegralan di van çarçoveyên cûda de bikar tîne dikare avantajek pêşbaziyê û têgihîştinek çêtir li ser operasyonên karsaziyê peyda bike. Hêvîdarim ku ev pirsgirêkên mînak dê ji we re bibin alîkar ku hûn serîlêdanên pratîkî yên entegralan di aborî û karsaziyê de fam bikin.
