Nimûneyên Pirsên ku Dirêjahî û Arasteya Vektoran Diaxivin
Pendahuluan
Vektor mîqdarek e ku hem mezinahî û hem jî rêça wê heye. Di gelek şaxên zanistê de, bi taybetî di fîzîk û matematîkê de, têgeha vektorê bi berfirehî ji bo temsîlkirina gelek diyardeyan tê bikar anîn, wekî cihguherîn, leza û hêzê. Fêmkirina ka meriv çawa dirêjahî (mezinahî) û rêça vektorê hesab dike ji bo gelek serîlêdanên pratîkî bingehîn e.
Armanca vê gotarê ew e ku mînakên pirsgirêkên têkildarî dirêjahî û arasteya vektoran nîqaş bike. Bi rêya lêkolînên rewşên berbiçav, ji xwendevanan tê xwestin ku têgeh û sepandina vektoran di rewşên cûrbecûr de fêr bibin.
Pênasîna bingehîn
1. Dirêjahiya (Mezinahiya) Vektorê: Dirêjahî an mezinahiya vektorê \(\mathbf{V}\) ku pêkhateyên \((V_x, V_y, V_z)\) hene bi karanîna formula jêrîn tê hesibandin:
\[ |\mathbf{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2} \]
2. Rêça Vektorê: Rêça vektorê dikare bi goşeyekê an jî bi pêkhateya yekîneya vektorê were îfadekirin. Ger vektor di du pîvanan de be, rêça wê bi gelemperî bi goşeya θ bi eksena x re tê îfadekirin, ku dikare bi karanîna vê were hesabkirin:
\[ \theta = \tan^{-1}\left( \frac{V_y}{V_x} \right) \]
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Li jêr mînakên pirsên derbarê dirêjahî û arasteya vektoran de ne.
Pirsa 1: Vektor di Du Pîvanan de
Pirsyar: Vektorek hatiye dayîn \(\mathbf{A}\) ku pêkhateyên wê \(\mathbf{A} = (-3, 4)\ ne. Dirêjahî û arasteya vektor \(\mathbf{A}\) diyar bike.
Nîqaş:
1. Dirêjahiya Vektorê:
\[ |\mathbf{A}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} \]
\[ |\mathbf{A}| = \sqrt{9 + 16} \]
\[ |\mathbf{A}| = \sqrt{25} \]
\[ |\mathbf{A}| = 5 \]
2. Rêça Vektorî:
Bi dayîn \(V_x = -3 \) û \(V_y = 4 \). Hingê, rêça θ li gorî eksena x ev e:
\[ \theta = \tan^{-1}\left( \frac{4}{-3} \right) \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left( -\frac{4}{3} \right) \]
Ji ber ku vektor di çaryeka duyemîn de ye (x neyînî, y erênî), divê em 180° lê zêde bikin:
\[ \theta = \tan^{-1}\left( -\frac{4}{3} \right) + 180° \]
\[ \theta \nêzîkî -53.13° + 180° \]
\[ \theta \nêzîkî 126.87° \]
Ji ber vê yekê, dirêjahiya vektor \(\mathbf{A}\) 5 yekîne ye, û rêça vektor \(126.87°\) li gorî eksena x-a erênî ye.
Pirsa 2: Vektor di sê pîvanan de
Pirsyar: Vektor \(\mathbf{B}\) pêkhateyên \(\mathbf{B} = (2, -1, 2)\) hene. Dirêjahîyê hesab bike û yekîneya vektor \(\mathbf{B}\) diyar bike.
Nîqaş:
1. Dirêjahiya Vektorê:
\[ |\mathbf{B}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} \]
\[ |\mathbf{B}| = \sqrt{4 + 1 + 4} \]
\[ |\mathbf{B}| = \sqrt{9} \]
\[ |\mathbf{B}| = 3 \]
2. Vektora Yekîneyê:
Vektoreke yekîneyî vektoreke bi dirêjahiya 1 e ku rêça wê wekî vektora orîjînal e. Vektora yekîneyî \(\mathbf{B}\) wiha tê pênasekirin:
\[ \hat{\mathbf{B}} = \frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|} \]
\[ \hat{\mathbf{B}} = \frac{(2, -1, 2)}{3} \]
\[ \hat{\mathbf{B}} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \rast) \]
Ji ber vê yekê, dirêjahiya vektor \(\mathbf{B}\) 3 yekîne ye û vektora yekîneyê \(\left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)\) ye.
Pirsa 3: Hesabkirina Goşeya Di Navbera Du Vektoran De
Pirs: Vektorên \(\mathbf{C} = (1, 2)\) û \(\mathbf{D} = (3, -1)\) hatine dayîn. Goşeya navbera vektorên \(\mathbf{C}\) û \(\mathbf{D}\) diyar bikin.
Nîqaş:
Goşeya di navbera du vektoran de dikare bi karanîna berhema xalan were hesab kirin:
\[ \mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = |\mathbf{C}| |\mathbf{D}| \cos \theta \]
Ko,
\[ \mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (1 \cdot 3) + (2 \cdot -1) \]
\[ \mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = 3 – 2 \]
\[ \mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = 1 \]
Dirêjahiya vektorê:
\[ |\mathbf{C}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \]
\[ |\mathbf{D}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \]
Wiha,
\[ 1 = \sqrt{5} \sqrt{10} \cos \theta \]
\[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{50}} \]
\[ \cos \theta = \frac{1}{5\sqrt{2}} \]
\[ \theta = \cos^{-1}\left( \frac{1}{5\sqrt{2}} \right) \]
\[ \theta \nêzîkî 81.79^\circ \]
Ji ber vê yekê, goşeya di navbera vektorên \(\mathbf{C}\) û \(\mathbf{D}\) de bi qasî \(81.79^\circ\) e.
Xelasî
Têgihîştina dirêjahî û rêça vektoran ji bo sepanên pratîkî di fîzîk, endezyarî û zanistên din de pir girîng e. Bi têgihîştina ka meriv çawa bi pêkhateyên vektor re dixebite, em dikarin dirêjahî, rêça û goşeyên di navbera vektoran de hesab bikin, ku jêhatîbûnek bingehîn lê girîng e. Ev gotar çend mînakên pirsgirêkan û çareseriyên wan peyda dike, ku em hêvî dikin ku dê ji we re bibin alîkar ku hûn têgeha vektoran fêr bibin û bicîh bînin.
Daftar Pustaka
Her çend ev gotar di şirovekirina têgehên bingehîn û sepandina wan de serbixwe be jî, xwendevanên eleqedar dikarin ji bo zanînek berfirehtir li pirtûkan û çavkaniyên din ên fêrbûnê yên kûrtir binêrin. Hin çavkaniyên din ev in:
1. [Pirtûka Dersê ya Vektor û Geometrîya Analîtîk](https://contoso.com)
2. [Fîzîk ji bo Zanyar û Endezyaran](https://contoso.com)
3. [Hesab: Transcendentalên Destpêkê](https://contoso.com)
