Pirsên Nimûne û Nîqaşkirina Çember û Tangentan
Çember û tangent du mijarên ku di matematîkê de, bi taybetî di asta dibistana navîn de, pir caran têne nîqaş kirin in. Fêmkirina têgeh û sepandina tangentan li ser çemberan ji bo kûrkirina zanîna we ya geometrîyê pir girîng e. Ev gotar dê pirsgirêkên mînakî û nîqaşên li ser çember û tangentan peyda bike da ku têgihîştinek kûrtir ji xwendevanan re peyda bike.
Pêşgotinek li ser Teoriya Bazgeh û Tangentan
Lingkaran
Bazûr komek xalên di rûberekê de ne ku ji xalek sabît a bi navê navenda bazûrê bi heman dûrî ne. Ev dûrahiya sabît wekî nîvravê bazûrê tê zanîn. Ji hêla matematîkî ve, bazûrek dikare bi vê hevkêşeyê were pênasekirin:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
li vir \((a, b)\) koordînatên navenda çemberê ne û \(r\) jî nîvkada wê ye.
Tangent
Tangenta xelekê xêzek e ku tam di xalekê de li xelekê dikeve. Ev xal wekî xala tangensê tê binavkirin. Taybetmendiya sereke ya tangentê ew e ku ew bi nîvravîza ku ji navenda xelekê ber bi xala tangensê ve tê kişandin, perpendîkular e.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Pirsa 1: Diyarkirina Hevkêşeya Xeta Tangentê
Pirs:
Çemberek bi navenda xwe li \((2, 3) \) û nîva wê ya nîva 5 hatiye dayîn. Hevkêşeya xêza tangentê ya bi çemberê re li xala \(P \) bi koordînatên \((5, 7) \) diyar bike.
Nîqaş:
Pêngava 1: Piştrast bike ku xala \(P \) bi rastî li ser çemberê ye.
Ji bo kontrolkirina ka \(P(5, 7)\) li ser çemberê ye ku navenda \((2, 3)\) û nîva wê \(5\) ye, koordînatên \(P\) di hevkêşeya çemberê de biguhezînin:
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[ 9 + 16 = 25 \]
Ji ber ku wekhevî rast e, xala (P) li ser çemberê ye.
Gava 2: Çerxa nîvkada ku di navbera \( (2, 3) \) û \( (5, 7) \) re derbas dibe diyar bike:
\[ m_{radius} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
Gava 3: Xêza tangentê ya perpendîkular li ser xêza radiusê (xêza berhemê -1 e):
\[ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Gava 4: Hevkêşeya xêza tangentê bi karanîna xala \(P (5, 7) \) diyar bike:
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Asankirin:
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya xeta tangentê wiha ye:
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Pirsa 2: Diyarkirina Xala Tangansê ji Hevkêşeya Xêzê
Pirs:
Çemberek bi hevkêşeya \(x^2 + y^2 = 25 \) û xêzek \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) hatiye dayîn. Xala tangansê ya di navbera xêz û çemberê de diyar bike.
Nîqaş:
Pêngava 1: Hevkêşeya xêzê têxe hevkêşeya çemberê:
Wekheviya çemberê:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
\(y = \frac{3}{4}x + 2 \) di hevkêşeya dorhêlê de bi cîh bike:
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\rast)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \rast) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]
Gava 2: Hevkêşeyê hêsan bike:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
Pêngava 3: Dîtina kokan bi karanîna formula çargoşeyî:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Hilbijartina \(x\)-yek derbasdar li gorî xala tengbûnê (tenê yek \(x\) dê xalek tengbûnê çêbike):
\[ x = \frac{141.501}{50} \nêzîkî 2.83 \]
\[ x \nêzîkî 2.83 \]
Pêngava 4: \(x\) di hevkêşeya xêzê de bi cîh bike da ku \(y\) bistînî:
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \nêzîkî 2.12 + 2 \]
\[ y \nêzîkî 4.12 \]
Ji ber vê yekê, xala tangansê di navbera xeta \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) û çembera \(x^2 + y^2 = 25 \) \((2.83, 4.12) \) de ye.
Xelasî
Serweriya têgehên çember û tangentan têgihîştina bingehên geometrîyê û şiyana çareserkirina pirsgirêkan bi karanîna hevkêşeyên matematîkî vedihewîne. Pirsgirêkên wekî yên jorîn alîkariya xwendekaran dikin ku teoriyê di rewşên berbiçavtir de pratîk bikin. Bi pratîka domdar, ji xwendekaran tê hêvîkirin ku pirsgirêkan bi hêsanî fam bikin û çareser bikin.
