Nimûneyên Pirsên ku Li Ser Çember û Tangentan Gotûbêj Dikin
Çember mijarek girîng e di geometriya matrîksê de, ku tê de têgehên kûr li ser dûrî, goşeyan û şeklê têne nîşandan. Têgehek ku di vê mijarê de pir caran tê nîqaş kirin xêza tangentê ya bi çemberê re ye. Di vê gotarê de, em ê çend pirsgirêkên mînakî yên ku çember û tangentan tê de hene nîqaş bikin.
Têgihîştina bingehîn a çember û tangentan
Lingkaran
Bazûr şêweyekî geometrîk e ku ji komek xalên di rûberekê de ku dûrbûnek sabît ji xalek diyarkirî heye ku jê re navenda bazûrê tê gotin, çêdibe. Ev dûrbûna sabît wekî nîv-radyusa bazûrê tê binavkirin.
Tangent
Tangenta xelekê xêzek e ku tam li yek xalê li xelekê dikeve. Ev xal wekî xala tangensê tê binavkirin. Tangent xwedî çend taybetmendiyên girîng in, di nav de:
- Xeta tangentê her gav li xala tangentê li gorî nîvkada çemberê perpendîkular e.
- Dirêjahiya tangentekê ji xalek li derveyî çemberê heta çemberê yek e eger du tangent ji wê xalê werin kişandin.
Nimûneyên Pirs û Gotûbêjan
Li jêr em ê çend nimûneyên pirsan pêşkêş bikin ku bi berfirehî li ser têgeha çember û tangentan nîqaş dikin.
Nimûneya Pirsa 1: Dîtina Dirêjahiya Xeta Tangentê
Pirs:
Çemberek bi navenda \(O\) û nîvradyus \(r = 6 \, \text{cm}\) hatiye dayîn. Ji xala \(P\) ya li derveyî çemberê ku 10 cm ji navenda çemberê dûr e, du tangent \(PA\) û \(PB\) bi çemberê ve têne xêzkirin. Dirêjahiya tangent \(PA\) hesab bike.
Nîqaş:
Di vê pirsgirêkê de, em dikarin teorema Pythagorean bikar bînin. Sêgoşeyek \(\triangle OAP\) xêz bikin:
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (dûrahî ji xala derve heta navenda çemberê)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (radyusa çemberê)
– \(PA\) xêza tangentê ye ku divê were dîtin
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Ji ber vê yekê, dirêjahiya xeta tangentê \(PA\) 8 cm e.
Nimûneya Pirsa 2: Dîtina Xala Tangansê
Pirs:
Çemberek bi hevkêşeya \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) û xêzek \(y = 2x + 1\) hatiye dayîn. Xala tangansê ya di navbera çember û xêzê de diyar bike.
Nîqaş:
Pêşîn, em navend û nîvkada çemberê destnîşan dikin:
– Navend \(O(3, 4)\)
– Radyus (r = \sqrt{25} = 5\)
Ji bo dîtina xala tangansê, em texmîn bikin ku xala tangansê \(T(x_1, y_1)\) ye ku ew jî li ser xeta \(y = 2x + 1\) ye. Piştre:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) divê hevkêşeya çemberê jî bicîh bîne:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
\(y_1 = 2x_1 + 1\) di hevkêşeya bazinê de bi cîh bike:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Pêdivî ye ku em du çargoşeyan hesab bikin.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Her du encam bi hev re bikin yek:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Ji herdu aliyan 25 jê derxîne:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Hevkêşeya çargoşeyî çareser bikin:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \caran 5 \caran 7}}{2 \caran 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
Nirxa \(y_1\) hesab bike:
Kîjan ji bo y = 2x + 1 têr dike:
– Eger \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\) be, wê demê \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Eger \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\) be, wê demê \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Nirxandin:
Ji ber vê yekê em du xalên hevberdana hevkêşeya çemberê bi wê xêzê re distînin.
Nimûneya Pirsa 3: Diyarkirina Hevkêşeya Xêzeke Tangentê
Pirs:
Çemberek bi hevkêşeya \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\) hatiye dayîn. Hevkêşeya xêza tangentê ya bi çemberê re ku di xala \((6, 7)\) re derbas dibe diyar bike.
Nîqaş:
Tangenta çemberê bi navend \(h, k)\) û nîvkada \(r\) ji xaleke derveyî ya naskirî dikare bi vê hevkêşeyê were dîtin:
Xêza tangentê ji xala derveyî \((x_1, y_1)\) derbas dibe:
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Xala derve \((6, 7)\) biguherîne:
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Hevkêşeya xêza tangentê ev e:
\[
x + y = 9
\]
Ji ber vê yekê, guherîna hevkêşeya xêzê ku di xala xêza dorhêlê re derbas dibe pir mezin e û dikare li gorî encam an temsîla dîtbarî biguhere.
Xelasî
Gotûbêja li ser çember û tangentan çend aliyên bingehîn ên matematîkê vedihewîne, ji sepandina formulên bingehîn ên wekî teorema Pythagorean bigire heya çareserkirina hevkêşeyên çargoşeyî. Bi rêya van mînakan, em dikarin têgihîştinek çêtir a çawaniya sepandina van têgehan di rewşên hinekî tevlihev de pêşve bibin. Hêvîdarim ku ev gotar wêneyek zelal a çawaniya nêzîkbûn û çareserkirina pirsgirêkên têkildarî çember û tangentan peyda kiriye.
