Pirsên Nimûne û Nîqaşkirina Berhevoka Fonksiyonê
Pêkhatina fonksiyonê têgeheke di matematîkê de ye ku tê de du fonksiyon dibin yek. Ger \(f \) û \(g \) du fonksiyon bin, wê demê pêkhatina \(f \) û \(g \) fonksiyoneke nû ye ku wekî \((f \circ g)(x) \) tê pênasekirin ku tê wateya \(f(g(x)) \). Di vê gotarê de, em ê li ser çend mînakên pirsgirêkan û çawaniya çareserkirina wan ên têkildarî pêkhatina fonksiyonê nîqaş bikin.
1. Têgihîştina bingehîn a pêkhatina fonksiyonel
Berî ku em bikevin nav pirsên mînakî, em bi kurtasî fêm bikin ka pêkhateya fonksiyonê çi ye.
Ferz bike ku du fonksiyonên (f) û (g) hene:
– Fonksiyon (f) : (x) biguhere bo f(x)
– Fonksiyon (g) : (x) biguhere bo g(x)
Pêkhateya \(f\) û \(g\), ku wekî \(f \circ g\) tê nivîsandin, fonksiyonek e ku têr dike:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Li vir, \(g(x)\) têketina fonksiyona \(f\) ye.
2. Nimûneya Pirsa 1
Pirs:
Fonksiyona (f(x) = 2x + 3) û fonksiyona (g(x) = x – 5) bidin. (f (g)(x)) û (g)(f)(x)) diyar bikin.
Nîqaş:
Werin em pêkhateya yekem ((f \circ g)(x) \) hesab bikin:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Di gava yekem de, em \(g(x)\) di \(f(x)\) de datînin:
\[ g(x) = x – 5 \]
\[ f(g(x)) = f(x – 5) \]
Gava duyem, em \(x – 5\) dixin nav fonksiyona \(f\):
\[ f(x – 5) = 2(x – 5) + 3 \]
\[ = 2x – 10 + 3 \]
\[ = 2x – 7 \]
Ji ber vê yekê, \((f \circ g)(x) = 2x – 7 \).
Niha em pêkhateya duyemîn \((g \circ f)(x) \) hesab bikin:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Gava yekem, em \(f(x)\) di nav \(g(x)\) de datînin:
\[ f(x) = 2x + 3 \]
\[ g(f(x)) = g(2x + 3) \]
Gava duyem, em \(2x + 3\) di fonksiyona \(g\) de dixin:
\[ g(2x + 3) = (2x + 3) – 5 \]
\[ = 2x + 3 – 5 \]
\[ = 2x – 2 \]
Ji ber vê yekê, \((g \circ f)(x) = 2x – 2 \).
3. Nimûneya Pirsa 2: Pêkhatina Fonksiyonan bi Fonksiyonên Çargoşeyî
Pirs:
Fonksiyona \(f(x) = x^2 + 1 \) û fonksiyona \(g(x) = 3x – 4 \) bidin. \((f \circ g)(x) \) û \((g \circ f)(x) \) diyar bikin.
Nîqaş:
Werin em pêkhateya yekem ((f \circ g)(x) \) hesab bikin:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Di gava yekem de, em \(g(x)\) di \(f(x)\) de datînin:
\[ g(x) = 3x – 4 \]
\[ f(g(x)) = f(3x – 4) \]
Gava duyem, em \(3x – 4\) dixin nav fonksiyona \(f\):
\[ f(3x – 4) = (3x – 4)^2 + 1 \]
\[ = (3x – 4)(3x – 4) + 1 \]
\[ = 9x^2 – 12x \cdot 2 + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 17 \]
Ji ber vê yekê, \( (f \circ g) (x) = 9x^2 - 24x + 17 \).
Niha em pêkhateya duyemîn \((g \circ f)(x) \) hesab bikin:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Gava yekem, em \(f(x)\) di nav \(g(x)\) de datînin:
\[ f(x) = x^2 + 1 \]
\[ g(f(x)) = g(x^2 + 1) \]
Gava duyem, em \(x^2 + 1 \) dixin nav fonksiyona \(g \):
\[ g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) – 4 \]
\[ = 3x^2 + 3 – 4 \]
\[ = 3x^2 – 1 \]
Ji ber vê yekê, \((g \circ f)(x) = 3x^2 – 1 \).
4. Nimûneya Pirsa 3: Pêkhatina Fonksiyonên Trîgonometrîk
Pirs:
Fonksiyona (f(x) = ∫sin x) û fonksiyona (g(x) = x^2) bidin. (f(g)(x) û (g)(f)(x) diyar bikin.
Nîqaş:
Werin em pêkhateya yekem ((f \circ g)(x) \) hesab bikin:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Di gava yekem de, em \(g(x)\) di \(f(x)\) de datînin:
\[ g(x) = x^2 \]
\[ f(g(x)) = f(x^2) \]
Gava duyem, em \(x^2\) dixin nav fonksiyona \(f\):
\[ f(x^2) = \sin(x^2) \]
Ji ber vê yekê, \((f \circ g)(x) = \sin (x^2) \).
Niha em pêkhateya duyemîn \((g \circ f)(x) \) hesab bikin:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Gava yekem, em \(f(x)\) di nav \(g(x)\) de datînin:
\[ f(x) = \sin x \]
\[ g(f(x)) = g(\sin x) \]
Gava duyem, em \( \sin x \) di fonksiyona \(g \) de bicîh dikin:
\[ g(\sin x) = (\sin x)^2 \]
\[ = \sin^2 x \]
Ji ber vê yekê, \((g \circ f)(x) = \sin^2x \).
Xelasî
Pêkhatina fonksiyonê rêbazek e ji bo hevgirtina du fonksiyonan di yek fonksiyonekê de. Bi rêya mînakên jorîn, me fêr bû ku pêvajoya pêkhatina fonksiyonê guhertina fonksiyonekê bi fonksiyoneke din vedihewîne. Encama dawî ya pêkhatina fonksiyonê bi giranî bi rêza ku fonksiyon pêşî têne sepandin ve girêdayî ye.
Girîng e ku meriv fêm bike ku \((f \circ g)(x) \) ne her gav wek \((g \circ f)(x) \) ye, û ev cûdahî dikare di cûrbecûr serîlêdanên matematîk û zanistê de pir girîng be. Ji ber vê yekê, têgihîştina bingehan û çawaniya hesabkirina pêkhateya fonksiyonan ji bo her kesê ku matematîkê di astek navîn an pêşkeftî de dixwîne pir girîng e.
Hêvîdarim ku nîqaş û pirsên mînakî yên li jor kêrhatî bin û ji xwendevanan re bibin alîkar ku pêkhateya fonksiyonan fam bikin.
