Pirsên Nimûne û Gotûbêja Pêkhateyên Vektor
Vektor di fîzîk û matematîkê de têgeheke bingehîn e, ku pir caran ji bo danasîna hejmaran bi hem mezinahî û hem jî bi rê ve tê bikar anîn. Têgihîştineke kûr a vektoran ji bo çareserkirina pirsgirêkên cûrbecûr di zanist û endezyariyê de girîng e. Ev gotar dê çend mînakên pirsgirêkên ku pêkhateyên vektoran tê de hene, digel ravekirinên wan, nîqaş bike.
Pêşgotinek li ser Vektoran
Vektor mîqdarek e ku du taybetmendiyên wê yên sereke hene: mezinahî û rê. Bo nimûne, lez mîqdarek vektor e ji ber ku hem mezinahî (çend lez) û hem jî rê (ku diçe) heye. Ji bo temsîlkirina vektoran, em pir caran tîran bi kar tînin, ku dirêjahiya tîrê mezinahiya wê temsîl dike û rêça tîrê jî rêça wê nîşan dide.
Vektorek di fezaya du-alî de pir caran wekî 𝐀 = 𝑎ᵢ + 𝑏ⱼ tê îfade kirin, ku tê de 𝑎 û 𝑏 pêkhateyên vektorê li ser tewereyên x û y ne, û 𝐢 û 𝐣 vektorên yekîneyî li ser tewereyên x û y ne.
Nimûneya Pirsa 1: Destnîşankirina Pêkhateyên Vektor ji Nûneratiyek Grafîkî
Pirsyar: Vektorek 𝐀 xala destpêkê li koordînatên (0,0) û xala dawî li koordînatên (4,3) heye. Pêkhateyên vektor 𝐀 diyar bikin.
Gotûbêj: Vektora ku ji xala destpêkê (0,0) dest pê dike heta xala dawî (4,3) dikare bi şêweya pêkhateyê wekî 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣 were nivîsandin. Pêkhateya li ser eksena x 4 û li ser eksena y 3 e.
Nimûneya Pirsa 2: Diyarkirina Mezinahiya Vektorekê
Pirsgirêk: Mezinahiya vektorê 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣 hesab bike.
Gotûbêj: Mezinahiya (an jî mezinahiya) vektorek 𝐀 dikare bi karanîna formula Pythagorean were hesibandin, ango:
\[ |𝐀| = \sqrt{𝑎² + 𝑏²} \]
Ji bo vektora 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣, hingê:
\[ |𝐀| = \sqrt{4² + 3²} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Ji ber vê yekê, mezinahiya vektorê 𝐀 5 yekîne ye.
Mînak 3: Zêdekirina Du Vektoran
Pirsyar: Du vektorên 𝐁 = 2𝐢 + 3𝐣 û 𝐂 = -𝐢 + 4𝐣 hatine dayîn. Kombûna vektorên 𝐁 û 𝐂 diyar bike.
Gotûbêj: Ji bo lêzêdekirina du vektoran, em tenê pêkhateyan di heman alî de li her vektorê lê zêde dikin:
\[ 𝐁 + 𝐂 = (2𝐢 + 3𝐣) + (-𝐢 + 4𝐣) \]
\[ = (2 + (-1))𝐢 + (3 + 4)𝐣 \]
\[ = 1𝐢 + 7𝐣 \]
Ji ber vê yekê, encama komkirina vektorên 𝐁 û 𝐂 ev e: 𝐃 = 𝐢 + 7𝐣.
Nimûneya Pirsa 4: Hesabkirina Goşeya Di Navbera Du Vektoran de
Pirsgirêk: Du vektor hatine dayîn 𝐀 = 3𝐢 + 4𝐣 û 𝐁 = 4𝐢 – 3𝐣. Goşeya di navbera her du vektoran de hesab bike.
Gotûbêj: Goşeya di navbera du vektoran de dikare bi karanîna formula kosînusê were hesibandin:
\[ \cos(𝜃) = \frac{𝐀 · 𝐁}{|𝐀| ||} \]
1. Berhema xalan (𝐀 · 𝐁) hesab bike:
\[ 𝐀 · 𝐁 = (3𝐢 + 4𝐣) · (4𝐢 – 3𝐣) \]
\[ = (3 4) + (4 -3) \]
\[ = 12 – 12 \]
\[ = 0 \]
2. Mezinahiya vektorên 𝐀 û 𝐁 hesab bike:
\[ |𝐀| = \sqrt{3² + 4²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ |𝐁| = \sqrt{4² + (-3)²} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
3. Di formula kosînusê de bi cîh bike:
\[ \cos(𝜃) = \frac{0}{5 5} = 0 \]
Ji ber ku \(\cos(𝜃) = 0\), wê demê \(𝜃 = 90°\). Loma, goşeya di navbera her du vektoran de 90 pile ye.
Nimûneya Pirsa 5: Hesabkirina Berhema Xaçerê ya Vektoran
Pirsgirêk: Dema ku du vektor di sê pîvanan de hatine dayîn, 𝐀 = 𝐢 + 2𝐣 + 3𝐤 û 𝐁 = 4𝐢 + 5𝐣 + 6𝐤, vektora berhema xaçerêyî 𝐀 × 𝐁 hesab bikin.
Gotûbêj: Berhema du vektoran di sê pîvanan de (𝐀 × 𝐁) ev e:
\[ 𝐀 × 𝐁 = \begin{vmatrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} \]
\[ = 𝐢 (2 6 – 3 5) – 𝐣 (1 6 – 3 4) + 𝐤 (1 5 – 2 4) \]
\[ = 𝐢 (12 – 15) – 𝐣 (6 – 12) + 𝐤 (5 – 8) \]
\[ = 𝐢 (-3) – 𝐣 (-6) + 𝐤 (-3) \]
\[ = -3𝐢 + 6𝐣 – 3𝐤 \]
Ji ber vê yekê, encama berhema xaçerêyî 𝐀 × 𝐁 -3𝐢 + 6𝐣 – 3𝐤 e.
Xelasî
Di fîzîk û matematîkê de, vektor rêbazek pir bikêrhatî ne ji bo temsîlkirina mîqdarên ku hem araste û hem jî mezinahî hene. Bi têgihîştina ka meriv çawa pêkhateyên vektor diyar dike, mezinahîyan hesab dike, vektoran kom dike, û goşeyên di navbera vektor û berhemên xaçerê de hesab dike, em dikarin gelek pirsgirêkên têkildarî vektoran çareser bikin. Nîqaşa li ser mînakên pirsgirêkên jorîn armanc dike ku alîkariya kûrkirina têgihîştina me ya vê têgehê bike. Di dawiyê de, şiyana têgihîştin û xebitandina bi vektoran di warên cûrbecûr ên zanist û endezyariyê de jêhatîyek pir bikêrhatî ye.
