Nimûneya Pirsên Nîqaşê yên Geometrîya Analîtîk
Pendahuluan
Geometrîya analîtîk şaxek ji matematîkê ye ku cebr û geometrîyê bi hev re dike yek da ku pirsgirêkên têkildarî fezayê û şeklê çareser bike. Ew amûrek bihêz e ku dihêle em pirsgirêkên geometrîk bi karanîna hevkêşeyan û koordînatan analîz bikin. Ev gotar dê çend mînakên pirsgirêkên deverek geometrîya analîtîk nîqaş bike û wan bi berfirehî nîqaş bike da ku têgihîştinek kûrtir hêsan bike.
Nimûneya Pirsa 1: Hevkêşeya Xêzê
Pirs:
Du xalên A(1, 2) û B(3, 7) hatine dayîn. Hevkêşeya xêza ku di van her du xalan re derbas dibe diyar bike.
Nîqaş:
Ji bo dîtina hevkêşeya xêzekê ku di du xalan re derbas dibe, em dikarin formula gradyanê (meylê) m bikar bînin:
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
Bi xala A(x1, y1) = (1, 2) û xala B(x2, y2) = (3, 7):
\[ m = \frac{7 – 2}{3 – 1} = \frac{5}{2} \]
Piştre, em formula ji bo hevkêşeya xêzê bikar tînin:
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
Guhertina yek xalî, bo nimûne xala A(1, 2):
\[ y – 2 = \frac{5}{2}(x – 1) \]
Vê formê veguherîne hevkêşeyeke eşkere ji bo y:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} + 2 \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya xêzê ev e:
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Nimûneya Pirsa 2: Bazûr
Pirs:
Hevkêşeya çemberê ku navenda wê li xala C(-2, 3) ye û nîvgira wê 4 e, diyar bike.
Nîqaş:
Hevkêşeya giştî ya çemberê bi navend li (h, k) û nîvrav r ev e:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Ji pirsê, navenda çemberê (h, k) = (-2, 3) û nîvçerx r = 4 e. Ji ber vê yekê,
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 4^2 \]
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya çemberê ev e:
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Nimûneya Pirsa 3: Parabola
Pirs:
Hevkêşeya parabola vertîkal bi lûtkeya li (1, -2) û fokuskirina li (1, 0) diyar bike.
Nîqaş:
Ji bo parabola vertîkal a bi lûtkeyê (h, k), hevkêşeya giştî ev e:
\[ (x – h)^2 = 4p(y – k) \]
Ger lûtkeya (h, k) = (1, -2) were dayîn, divê em nirxa p bibînin. Fokusa parabolayê (h, k + p) ye, û ji pirsgirêkê fokus (1, 0) ye:
\[ k + p = 0 – (-2) = 2 \]
Heta:
\[ p = 2 \]
Ji ber vê yekê, wekhevkirina giştî wiha dibe:
\[ (x – 1)^2 = 4 \cdot 2 (y + 2) \]
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya parabolayê wiha ye:
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Nimûneya Pirsa 4: Elîps
Pirs:
Elipseke ku navenda wê li xala (0, 0) e, dirêjahiya eksena sereke 10 û eksena biçûk 6 e. Hevkêşeya elipsê diyar bike.
Nîqaş:
Navenda elipsê (h, k) (0, 0) e, dirêjahiya eksena sereke 2a = 10 e, da ku a = 5 be, û dirêjahiya eksena biçûk 2b = 6 e, da ku b = 3 be. Hevkêşeya giştî ya elipsê bi navenda wê li (0, 0) ev e:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
Nirxên a û b biguherînin:
\[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya elipsê ev e:
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Nimûneya Pirsa 5: Hîperbol
Pirs:
Heger hîperbolek bi navenda wê li (1, -3) were dayîn, dirêjahiya eksena transversal 8 û dirêjahiya eksena konjugasyonî 6 e. Hevkêşeya hîperbolê diyar bikin.
Nîqaş:
Ji bo hîperbolekê bi navend (h, k) û eksena transversal a horizontî, hevkêşeya giştî ev e:
\[ \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \]
Navenda hîperbolê (h, k) (1, -3) e, dirêjahiya eksena transversal 2a = 8 e, ji ber vê yekê a = 4 e, û dirêjahiya eksena konjugasyonî 2b = 6 e, ji ber vê yekê b = 3 e. Ji ber vê yekê, hevkêşeya hîperbolê ev e:
\[ \frac{(x – 1)^2}{4^2} – \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya hîperbolê wiha ye:
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Xelasî
Geometrîya analîtîk rêbazeke bihêz e ji bo analîzkirina şekil û avahiyên geometrîk bi karanîna hevkêşeyên cebrî. Bi têgihîştina têgehên bingehîn ên hevkêşeyên xêzan, çemberan, parabolan, elipsan û hîperbolan, em dikarin bi hêsanî cûrbecûr pirsgirêkên geometrîk çareser bikin. Ev gotar mînak û nîqaşên pirsgirêkên girîng ên di geometrîya analîtîk de peyda dike da ku ji bo kûrkirina têgihîştina we bibe alîkar. Pirsgirêkên pratîkê yên din dikarin ji bo xurtkirin û berfirehkirina têgihîştina we ya vê materyalê bibin alîkar.
