Pirsên Nimûne û Nîqaşkirina li ser Tangentên ber bi Beşên Konîk ve
Pendahuluan
Beşa konîk xêzek e ku ji hevberdana rûberekê bi konek duqutbî çêdibe. Ev xêz çember, elîps, parabol û hîperbolan dihewînin. Mijareke girîng di têgihîştina beşên konîk de xêza tangentê ye. Tangentek bi beşa konîk re xêzek e ku tenê di yek xalê de li xêza konîk dixe. Ev gotar dê çend mînakên pirsgirêkan û nîqaşek li ser tangentên bi beşên konîk re nîqaş bike.
Tangenta bi çemberê re
Çember beşek konîk e ku xwedî şiklê herî hêsan û simetrîyek bêkêmasî ye. Werin em bi pirsgirêkek mînakî ya li ser tangentên çemberê dest pê bikin.
Nimûneya Pirsa 1
Çemberek bi hevkêşeya \((x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \) hatiye dayîn. Hevkêşeya xêza tangentê li xala \((5, -3)\) li ser çemberê diyar bike.
Nîqaş
Hevkêşeya giştî ya çemberê \((x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \) ye, ku \((h, k) \) navenda çemberê ye û \(r \) jî nîvkada wê ye. Di vê pirsgirêkê de, navenda çemberê \((h, k) \) \((2, -3)\) ye û nîvkada wê jî \(r = \sqrt{25} = 5 \) e.
Xeta tangentê li xala \((x_1, y_1)\) li ser çemberê dikare bi karanîna formula jêrîn were dîtin:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
Nirxên naskirî binivîse:
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2) (3) + (y + 3) (0) = 25 \]
\[ 3(x – 2) = 25 \]
\[ 3x – 6 = 25 \]
\[ 3x = 31 \]
\[ x = \frac{31}{3} \]
Hevkêşeya xeta tangentê \(x = \frac{31}{3}\) ye, lê di vê rêbazê de xeletiyek heye ji ber ku xala \((5, -3)\) bi eşkere xalek li ser çemberê ye. Ji ber vê yekê, em rêbaza kevneşopî bi danîna meyla xeta tangentê li vê xala taybetî bikar tînin:
Xala tangentê \((5, -3)\) ye, wê demê, gradyana (m) ya xeta radiusê \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\) ye, ku li wir gradyana xeta tangentê ji bo tangenta vertîkal a berê nayê destnîşankirin.
Xêza Tangentê ber bi Elîpsê ve
Elîps beşek konîk e ku du eksên sîmetrîk hene: eksên mezin (dirêj) û eksên piçûk (kurt). Li vir çend mînakên pirsgirêkên bi elîpsan re hene.
Nimûneya Pirsa 2
Elîpsek bi hevkêşeya \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) hatiye dayîn. Hevkêşeya xêza tangentê li xala \((2, \frac{3}{2})\) li ser elîpsê diyar bike.
Nîqaş
Hevkêşeya xêza tangentê bi elîpsê \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) li xala \((x_1, y_1)\) ev e:
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Bi \(a = 4\) û \(b = 3\), nirxên \(a\), \(b\), û xala \((2, \frac{3}{2})\) biguherînin:
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
Ji bo derxistina perçeyan, tevahiya hevkêşeyê bi 8-ê zêde bike:
\[ x + 4y = 8 \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya xêza tangentê bi elîpsê re \(x + 4y = 8 \) ye.
Xeta Tangentê bo Parabolê
Parabola beşek konîk e ku xwedî yek eksena sîmetrîyê û yek lûtkeyê ye. Li vir çend mînakên pirsgirêkên bi parabolan re hene.
Nimûneya Pirsa 3
Parabolek bi hevkêşeya \(y^2 = 4x \) hatiye dayîn. Hevkêşeya xêza tangentê li xala \((1, 2)\) li ser parabolê diyar bike.
Nîqaş
Hevkêşeya xêza tangentê ya bi parabola \(y^2 = 4ax \) re li xala \((x_1, y_1)\) ev e:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
Ji hevkêşeya parabolayê \(y^2 = 4x \), em \(4a = 4 \) digirin da ku \(a = 1 \). Nirxa \(a \) û xala \((1, 2)\) biguherînin:
\[ 2y = 2(1)(x + 1) \]
\[ 2y = 2x + 2 \]
\[ y = x + 1 \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya xêza tangentê ya bi parabolê re \(y = x + 1 \) ye.
Xeta Tangentê bo Hîperbolê
Hîperbola beşek konîk e ku du şax û du asîmptot hene. Li vir çend mînakên pirsgirêkên bi hîperbolan re hene.
Nimûneya Pirsa 4
Hîperbolek bi hevkêşeya \( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \) were dayîn. Hevkêşeya xêza tangentê li xala \((5, 0)\) li ser hîperbolê diyar bike.
Nîqaş
Hevkêşeya xêza tangentê ya bi hîperbola \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) li xala \((x_1, y_1)\) ev e:
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Bi \(a = 5\) û \(b = 4\), nirxên \(a\), \(b\), û xala \((5, 0)\) biguherînin:
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[ x = 5 \]
Ji ber vê yekê, hevkêşeya xêza tangentê ya bi hîperbolê re \(x = 5 \) ye.
Xelasî
Tangentên ber bi beşên konîk ve di matematîkê û gelek sepanên pratîkî de roleke girîng dilîzin. Fêmkirina ka meriv çawa hevkêşeyên tangentên ber bi celebên cûda yên beşên konîk, wek çember, elips, parabol û hîperbolan dibîne, jêhatîyeke girîng e di hesabkirin û geometrîya analîtîk de. Bi mînak û nîqaşên jorîn, hêvî tê kirin ku xwendevan dê têgihîştineke çêtir a têgeh û rêbazên diyarkirina tangentên ber bi beşên konîk ve bi dest bixin.
