Pirsên Nimûne û Nîqaş li ser Belavkirina Îhtimalê
Belavkirina îhtimalê yek ji têgehên bingehîn di îstatîstîk û îhtimalê de ye. Ew ji bo têgihîştina îhtimala ku nirxên cûrbecûr ên hejmareke rasthatî çêbibin tê bikar anîn. Belavkirinên îhtimalê dikarin li gorî cewhera daneyên ku têne analîzkirin gelek şiklan bigirin. Du celebên herî gelemperî yên belavkirinên îhtimalê dîskret û domdar in. Di vê gotarê de, em ê çend mînakên pirsgirêkan binirxînin û belavkirinên îhtimalê nîqaş bikin da ku ji me re bibin alîkar ku em vê mijarê çêtir fam bikin.
Belavkirina Cûda
Belavkirineke dîskret belavkirinek e ku îhtîmala guherbareke rasthatî ya dîskret hesab dike, ango guherbarek ku tenê dikare nirxên diyarkirî bigire. Nimûneyên navdar ên belavkirinên dîskret Belavkirina Binomial û Belavkirina Poisson in.
Mînak 1: Belavkirina Binomî
Belavkirina dualî hejmara serkeftinan di rêze ceribandinên Bernoulli de vedibêje. Her ceribandinek Bernoulli du encam hene: serkeftin an têkçûn. Îhtîmala serkeftinê di seranserê ceribandinê de sabît dimîne.
Pirs:
Şirketeke dermanan dermanekî nû li ser 10 nexweşan diceribîne. Îhtîmala ku derman li ser yek nexweşekî bixebite 0.7 e. Îhtîmala ku derman tam li ser 7 ji 10 nexweşan bixebite hesab bike.
Nîqaş:
Guhêrbara rasthatî \(X\) li gorî belavkirina duqutbî ya \(n = 10\) û \(p = 0.7\) tevdigere. Fonksiyona îhtimala duqutbî ev e:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Ji bo \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Hesabkirina koefîsyenta duqutbî \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Hesabkirina nirxên îhtimalê:
\[ P(X = 7) = 120 caran (0.7)^7 caran (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \nêzîkî 120 \car 0.0823543 \car 0.027 \]
\[ P(X = 7) \nêzîkî 0.231 \]
Ji ber vê yekê, îhtîmala ku derman tam di 7 ji 10 nexweşan de bandor bike nêzîkî 0.231 an jî %23.1 e.
Mînak 2: Belavkirina Poisson
Belavkirina Poisson ji bo modelkirina hejmara bûyerên bûyerek nadir di nav demek an cîhek diyarkirî de tê bikar anîn.
Pirs:
Dikanek di saetekê de bi navincî 4 xerîdaran werdigire. Îhtîmala ku dikan di saetekê de tam 5 xerîdaran werbigire çi ye?
Nîqaş:
Guhêrbara rasthatî \(X\) li gorî dabeşkirina Poisson bi parametreya \(\lambda = 4\) dimeşe. Fonksiyona girseya îhtimala Poisson ev e:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
Ji bo \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Jimartin:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \nêzîkî 0.156 \]
Ji ber vê yekê, îhtîmala ku firotgeh di saetekê de tam 5 xerîdaran werbigire nêzîkî 0.156, an jî %15.6 e.
Belavkirina Berdewam
Belavkirinên berdewam têne bikar anîn dema ku guhêrbarê rasthatî yê ku tê pîvandin dikare di nav rêzek diyarkirî de her nirxek bigire. Nimûneyên naskirî yên belavkirinên berdewam Belavkirina Normal û Belavkirina Eksponensîyal in.
Mînak 3: Belavkirina Normal
Belavkirina Normal, ku pir caran wekî Belavkirina Gaussî tê binavkirin, belavbûnek e ku bi gelemperî di warên cûrbecûr de, di nav de zanist, endezyarî û aborî, tê bikar anîn.
Pirs:
Bilindahiya mêrên mezin li bajarekî bi gelemperî bi navînî 170 cm û devîasyona standard 10 cm tê belavkirin. Îhtîmala ku bilindahiya mêrekî bi awayekî rasthatî hatiye hilbijartin di navbera 160 cm û 180 cm de be çi ye?
Nîqaş:
Pêdivî ye ku em ji bo 160 cm û 180 cm xala z-yê hesab bikin. Xala z-yê wiha tê pênasekirin:
\[Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Ji bo \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Ji bo \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Niha divê em li nirxên îhtimalê ji -1 heta 1 di tabloya z de binêrin. Nirxa ji z = -1 heta z = 1 bi qasî 0.6826 e.
Ji ber vê yekê, îhtîmala ku bilindahiya zilamekî bi awayekî rasthatî hatiye hilbijartin di navbera 160 cm û 180 cm de be bi qasî 0.6826 an jî %68.26 e.
Mînak 4: Belavkirina Eksponsîyonel
Belavkirina Eksponsîyonel ji bo modelkirina dema di navbera bûyeran de di pêvajoyek Poisson de tê bikar anîn.
Pirs:
Dema navînî di navbera du hatina xerîdaran li firoşgehekê de 15 deqe ye. Îhtîmala ku dema di navbera du hatina xerîdaran de ji 10 deqeyan kêmtir be çi ye?
Nîqaş:
Belavkirina Eksponsîyonel parametreyek heye \(\lambda\) ku berevajiya navînî (\(\mu\)) ye. Bi navînî 15 deqîqe:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Fonksiyona belavkirina berhevkirî ya eksponansiyel ev e:
\[ P(X ≤ x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
Ji bo \(x = 10\):
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 ≤ 10} \]
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \eq 10) \nêzîkî 1 – 0.5134 \]
P(X ≤ 10) nêzîkî 0.4866
Ji ber vê yekê, îhtîmala ku dema di navbera hatina du xerîdaran de ji 10 hûrdeman kêmtir be, bi qasî 0.4866 an jî %48.66 e.
Xelasî
Belavkirinên îhtimalê, hem yên dîskret û hem jî yên berdewam, ji bo modelkirin û têgihîştina tevgera guherbarên rasthatî têgehên pir bikêr in. Belavkirinên duqat û Poisson pir caran ji bo guherbarên dîskret têne bikar anîn, di heman demê de belavkirinên normal û eksponansiyel mînakên belavkirinên berdewam in.
Bi rêya mînakên jorîn, em hêvî dikin ku we têgihîştinek çêtir li ser çawaniya hesabkirin û şîrovekirina îhtimalan di belavkirinên îhtimalê de bi dest xistiye. Bi pratîka domdar, şiyana we ya têgihîştina belavkirinên îhtimalê dê baştir bibe û dikare li seranserê dîsîplînên cûda were sepandin.
