Nimûneyên Pirsên Li Ser Rêzeya Geometrîk Gotûbêj Dikin
Rêzên geometrîk di matematîkê de têgeheke girîng in, û pir caran di gelek celebên pirsgirêkan de xuya dibin, di nav de azmûnên dibistanê, azmûnên ketina zanîngehê, û tewra testên standardîzekirî yên wekî SAT an GRE. Têgihîştineke kûr a rêzên geometrîk ji me re dibe alîkar ku em pirsgirêkan bi bandor çareser bikin. Ev gotar dê çend mînakên pirsgirêkan vehewîne û rêzên geometrîk bi berfirehî nîqaş bike.
Têgihîştina Rêzeya Geometrîk
Rêzeya geometrîk ew rêze ye ku tê de her term bi pirkirina terma berê bi hejmareke sabît a bi navê rêje (rêjeya hevpar, bi gelemperî bi tîpa \(r\) tê sembolîzekirin) tê bidestxistin. Bi gelemperî, rêzeya geometrîk dikare wiha were nivîsandin:
\[
a, ar, ar^2, ar^3, \ldots
\]
Ko:
– \(a\) terma yekem e
– \(r\) rêjeya rêzê ye
Eger \( |r| < 1 \), rêzên geometrîkî yên bêdawî xwedî taybetmendiya balkêş a konverjansê ne. Gelek sepanên pratîkî yên rêzên geometrîkî di warên cûrbecûr de hene wekî fîzîk, aborî û biyolojiyê.
Formula Rêzeya Geometrîk Terma nemîn a rêzenivîsek geometrîk Terma nemîn a rêzenivîsek geometrîk dikare bi karanîna vê formulê were hesabkirin: \[ U_n = a \cdot r^{n-1} \] Kombûna Termên Yekem ên n ên Rêzenivîsek Geometrîk Kombûna termên yekem \(n\) ên rêzenivîsek geometrîk (Sn) dikare bi karanîna vê formulê were hesabkirin: \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad \text{for } r \neq 1 \] \[ S_n = na, \quad \text{for } r = 1 \] Kombûna Bêdawî ya Rêzenivîsek Geometrîk Ger \(|r| < 1\), rêzenivîsek geometrîk a bêdawî xwedî vê kombûnê ye: \[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \] Nimûneyên Pirs û Gotûbêjan Li jêr çend mînakên pirsên rêzenivîsên geometrîk digel nîqaşên wan hene: Nimûneya Pirsa 1: Hesabkirina Terma nemîn Pirs: Rêzenivîsa geometrîk bi terma yekem \(a = 5\) û ya hevpar tê dayîn rêjeya \(r = 3\). Terma 6emîn a rêzê hesab bike. Çareserî: Bi karanîna formula terma nemîn: \[ U_6 = a \cdot r^{(6-1)} = 5 \cdot 3^5 = 5 \cdot 243 = 1215 \] Ji ber vê yekê, terma 6emîn a rêzê 1215 e. Nimûneya Pirsa 2: Hesabkirina Kombûna n Termên Yekem Pirs: Kombûna 4 endamên pêşîn ên rêzenivîsek geometrîkî bi endama yekem \(a = 2\) û rêjeya \(r = \frac{1}{2}\) hesab bike. Nîqaş: Bi karanîna formula ji bo kombûna \(n\) endamên pêşîn: \[ S_4 = a \frac{1 - r^4}{1 - r} = 2 \frac{1 - (\frac{1}{2})^4}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \frac{1 - \frac{1}{16}}{\frac{1}{2}} = 2 \frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{15}{8} = 2 \cdot \frac{15}{8} = \frac{30}{8} = 3.75 \] Ji ber vê yekê, kombûna 4 endamên pêşîn ên rêzenivîsê 3.75 e. Mînak 3: Kombûna Rêzeya Geometrîk a Bêdawî Pirs: Kombûna rêzeyek bêdawî hesab bike ku \(a = 7\) û \(r = \frac{1}{3}\) lê ye. Çareserî: Bi karanîna formula ji bo kombûna rêzeyek bêdawî: \[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{7}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{7}{\frac{2}{3}} = 7 \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \] Ji ber vê yekê, kombûna rêzeya bêdawî 10.5 e. Mînak 4: Diyarkirina Merc û Rêjeya Rêzeyekê Pirs: Kombûna 3 endamên pêşîn ên rêzeyek geometrîk 21 e, û kombûna endamên 2 û 3 18 e. Endamê pêşîn û rêjeya wê diyar bike. Nîqaş: Bifikirin ku endamê pêşîn \(a\) ye û rêje \(r\) ye. Ji agahiyên pirsgirêkê, em dikarin du hevkêşeyên jêrîn binivîsin: \[ a + ar + ar^2 = 21 \quad \text{(1)} \] \[ ar + ar^2 = 18 \quad \text{(2)} \] Ji hevkêşeya (2), em dikarin \(a\) bi rêya \(r\) îfade bikin: \[ a(r + r^2) = 18 \îma dike a = \frac{18}{r(1 + r)} \] Piştre, \(a\) di hevkêşeya (1) de biguherînin: \[ \frac{18(1)}{r(1 + r)} + \frac{18r}{r(1 + r)} + \frac{18r^2}{r(1 + r)} = 21 \] \[ \frac{18}{1 + r} + \frac{18r}{1 + r} + \frac{18r^2}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{18 (1 + r + r^2)}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{18 \cdot 3}{1 + r} = 21 \] \[ \frac{54}{1 + r} = 21 \] \[ 54 = 21(1 + r) \] \[ 54 = 21 + 21r \] \[ 33 = 21r \] \[ r = \frac{33}{21} = \frac{11}{7} \] Dema ku nirxa \(r\) tê zanîn, wê dîsa bi nirxa \(a\ ve biguherîne: \[ a = \frac{18}{r(1 + r)} = \frac{18}{\frac{11}{7} (1 + \frac{11}{7})} = \frac{18}{\frac{11}{7} \cdot \frac{18}{7}} = \frac{18 \cdot 7}{11 \cdot 18} = \frac{7}{11} \] Bi vî awayî, terma yekem \(a\) \(\frac{7}{11}\) ye û rêjeya hevpar \(\frac{11}{7}\) ye. Encam Rêzefîlmên geometrîk yek ji wan têgehên matematîkî ne ku bi berfirehî di gelek serlêdanan de têne bikar anîn. Fêmkirina formulên bingehîn ên wekî terma n-emîn, berhevoka n termên yekem, û berhevoka rêzefîlmek geometrîkî ya bêdawî ji bo çareserkirina gelek pirsgirêkên matematîkî yên têkildar pir girîng e. Bi pratîkkirina mînakên cûrbecûr ên ku di vê gotarê de hatine nîqaş kirin, em dikarin şiyana xwe ya têgihîştin û karanîna rêzefîlmên geometrîkî çêtir baştir bikin.