Nimûneyên Pirsên Li Ser Rêzeya Geometrîk Gotûbêj Dikin
Rêzên geometrîk têgeheke bingehîn a matematîkê ne ku pir caran li lîseyê têne hînkirin. Ev rêz ji komek hejmaran pêk tên, ku her yek ji wan berhema hejmareke berê bi sabîteke ku wekî "rêje" tê zanîn e. Ev gotar dê çend mînakên pirsgirêkan û nîqaşên li ser rêzikên geometrîk vehewîne, bi hêviya ku alîkariya xwendevanan bike ku vê têgehê çêtir fam bikin.
Têgihîştina Rêzeya Geometrîk
Rêzeke geometrîk rêzeke hejmaran e ku bi pirbûna hejmareke yekem (a) bi rêjeyek sabît (r) çêdibe. Bi gelemperî, forma giştî ya rêzeke geometrîk ev e:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
Vir:
- "a" terma yekem a rêzê ye.
- "r" rêjeya peyvekê li gorî peyvê berê ye.
– "n" terma n-emîn di rêzê de ye.
Pirsên Nimûne û Gotûbêj
Ji bo ku em di derbarê rêzikên geometrîk de bêtir fêm bikin, werin em li ser hin mînakên pirsgirêkan nîqaş bikin.
Nimûneya Pirsa 1
Pirs:
Rêzek geometrîkî ya ku tê de terma yekem (a) 3 e û rêjeya wê (r) 2 ye, were dayîn. Diyar bike:
1. Terma 5emîn a rêzê.
2. Kombûna 6 endamên pêşîn ên rêzê.
Nîqaş:
1. Terma 5emîn (U5) dikare bi karanîna formula terma nemîn a rêzek geometrîkî were hesibandin, ango:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
a = 3, r = 2, û n = 5 di formulê de bi cîh bikin:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
Ji ber vê yekê, terma 5-an a rêzê 48 e.
2. Kombûna 6 endamên pêşîn (S6) ên rêzek geometrîkî dikare bi karanîna formula ji bo kombûna n endamên pêşîn were hesibandin, ango:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \rast) \]
a = 3, r = 2, û n = 6 di formulê de bi cîh bikin:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \rast) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \rast) \]
\[ S_6 = 3 \çep( 63 \rast) \]
\[ S_6 = 189 \]
Ji ber vê yekê, berhevoka 6 endamên pêşîn ên rêzê 189 e.
Nimûneya Pirsa 2
Pirs:
Rêzeke geometrîk xwedî terma 3yem a 27 û terma 5em a 243 e. Nirxa terma yekem (a) û rêje (r) diyar bike.
Nîqaş:
Ji U3 = 27 û U5 = 243 tê dayîn. Bi karanîna formula ji bo terma n-emîn a rêzek geometrîkî:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Ji bo U3:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
Ji bo U5:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
Berawirdkirina hevkêşeyên (1) û (2) ji bo rakirina a:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ an } r = -3 \]
Nirxa r di hevkêşeya (1) de biguhere:
Eger \( r = 3 \):
\[ 27 = yek \cdot 3^2 \]
\[ 27 = yek ji 9an]
\[ a = 3 \]
Eger \( r = -3 \):
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = yek ji 9an]
\[ a = 3 \]
Ji ber vê yekê, terma yekem (a) 3 e, û rêje (r) dikare 3 an -3 be.
Nimûneya Pirsa 3
Pirs:
Ger terma yekem (a) 8 be û rêje (r) 1/2 be, berhevoka bêdawî ya rêzên geometrîkî yên jêrîn bibîne.
Nîqaş:
Kombûna bêdawî ya rêzenivîsek geometrîkî dikare bi karanîna formula jêrîn were hesibandin:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
Bi danîna a = 8 û r = 1/2 di formulê de:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \car 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
Ji ber vê yekê, berhevoka bêdawî ya rêzenivîsên geometrîkî 16 e.
Nimûneya Pirsa 4
Pirs:
Rêzeya geometrîk xwedî terma 2yemîn a 12 û terma 4emîn a 108 e. Rêjeyê û terma yekem a rêzê diyar bike.
Nîqaş:
Bi dayîn \( U_2 = 12 \) û \( U_4 = 108 \). Bi karanîna formula ji bo terma n-emîn a rêzek geometrîkî:
Ji bo \( U_2 \):
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
Ji bo \( U_4 \):
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
Berawirdkirina hevkêşeyên (1) û (2) ji bo rakirina a:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ an } r = -3 \]
Nirxa r di hevkêşeya (1) de biguhere:
Eger \( r = 3 \):
\[ 12 = yek ji 3an]
\[ a = 4 \]
Eger \( r = -3 \):
\[ 12 = yek \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
Ji ber vê yekê, terma yekem (a) dikare 4 an -4 be, û rêje (r) dikare 3 an -3 be.
Xelasî
Rêzên geometrîk têgeheke girîng a matematîkî ne ku pir caran di warên cûrbecûr de têne bikar anîn. Bi têgihîştina bingehan û pratîkkirina jêhatîyên çareserkirina pirsgirêkan, em hêvî dikin ku di têgihîştin û sepandina têgehê de jêhatîtir bibin. Ev gotar çend mînakên pirsgirêk û nîqaşan vedihewîne da ku alîkariya xwendevanan bike ku rêzikên geometrîk kûrtir fêr bibin û fam bikin. Em hêvî dikin ku ev alîkar be!
