푸아죄유 방정식에 관한 기사
푸아죄유 방정식은 장 루이 마리 푸아죄유(1799-1869)에 의해 발견되었습니다. 앞서 설명했듯이, 모든 유체는 이상 유체로 간주할 수 있습니다. 이상 유체는 점성이 없습니다. 이상 유체가 파이프를 흐른다고 가정하면, 유체의 각 부분은 동일한 속도(v)로 움직입니다. 그러나 이상 유체와 달리 우리가 일상생활에서 접하는 실제 유체는 점성을 가지고 있습니다. 점성 때문에 파이프를 흐를 때 유체의 각 부분의 속도는 서로 다릅니다. 파이프 중앙에 있는 유체층은 더 빠르게 움직이고(v = 0), 파이프 가장자리에 붙어 있는 유체층은 움직이지 않습니다(v = 0). 따라서 파이프 중앙에서 가장자리까지 유체의 각 부분은 서로 다른 속도로 움직입니다. 이해를 돕기 위해 아래 그림을 참조하십시오.
R = 파이프/튜브의 반지름
v 1 = 중앙/튜브 축 방향 유체 유량
v 2 = 튜브 가장자리에서 r 2 만큼 떨어진 지점의 유체 유량
v 3 = 튜브 가장자리에서 r 3 까지 의 유체 유량
v 4 = 튜브 가장자리에서 r 4 까지 의 유체 유량
r = 거리
유체의 각 부분의 유량이 동일하려면 유체가 통과하는 파이프 또는 튜브의 양 끝에 압력 차이가 있어야 합니다. 여기서 유체란 실제 유체를 의미하며, 예를 들어 파이프를 통해 흐르는 물이나 기름, 혈관을 통해 흐르는 혈액 등이 있습니다. 압력 차이는 실제 유체가 원활하게 흐르도록 도울 뿐만 아니라 높이가 다른 파이프에서도 유체가 원활하게 흐르도록 할 수 있습니다.
프랑스의 전직 과학자였던 장 루이 마리 푸아죄유는 인체 혈액 순환의 물리적 측면에 관심을 갖고 압력 차이, 관의 단면적, 관의 크기와 같은 요소들이 실제 유속에 어떻게 영향을 미치는지 연구했습니다. 그가 얻은 결과는 푸아죄유 방정식으로 알려져 있습니다.
푸아죄유 방정식은 이전에 계산된 점성 계수 방정식을 이용하여 유도할 수 있습니다. 두 경우가 완전히 동일하지는 않지만 유사하기 때문에 점성 계수 방정식을 사용합니다. 점성 계수 방정식을 유도할 때, 두 평행판 사이의 실제 유체 흐름을 검토하는데, 이때 유체는 인력(F)에 의해 움직일 수 있습니다. 차이점은 우리가 유도할 푸아죄유 방정식이 파이프/튜브 내 실제 유체 흐름에 영향을 미치는 요인과 압력 차이에 의한 유체 흐름을 모두 고려한다는 점입니다. 따라서 점성 계수 방정식을 다시 조정해야 합니다.
압력 차이로 인해 유체가 흐를 수 있습니다(유체는 고압에서 저압으로 흐릅니다). 이때 F를 p 1 – p 2 (p 1 > p 2 )로 대체합니다.
점성 계수 방정식을 유도할 때, 두 평행판 사이의 실제 유체층의 흐름을 검토합니다. 유체의 각 부분은 거리 l만큼 일정한 속도로 변화합니다. 이 경우 유체 유량은 관의 축에서 가장자리까지 일정한 속도로 변화합니다. 관의 축을 따라 흐르는 유체는 더 빠른 속도(v)를 갖습니다. 가장자리로 갈수록 유체 속도는 작아집니다. 관의 반지름은 관의 축과 가장자리 사이의 거리, 즉 R입니다. 유체의 각 부분과 가장자리 사이의 거리는 r입니다. 유체의 각 부분의 양이 매우 크고 가장자리로부터의 거리도 다르기 때문에 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있습니다.
v₁ = 튜브 가장자리에서 거리 r₁ 만큼 떨어진 지점 의 유체 속도 ( r₁ = R)
v₂ = 튜브 가장자리에서 거리 r₂ 만큼 떨어진 지점 의 유체 속도 ( r₂ < r₁ )
v₃ = 튜브 가장자리에서 거리 r₃ 만큼 떨어진 지점에서의 유체 속도 ( r₃ < r₂ < r₁ )
v4 = 튜브 가장자리에서 거리 r4 만큼 떨어진 지점 의 유체 속도 ( r4 < r3 < r2 < r1 )
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v n = 튜브 가장자리에서 거리 rn만큼 떨어진 지점에서의 유체 유속 (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
유체의 각 부분의 양은 매우 크며, 실제 양이 정확히 얼마인지 알 수 없으므로 기호 n으로 나타내는 것으로 충분합니다. 유체의 각 부분은 관의 축(r₁ = R)에서 관의 가장자리(rn)까지 속도(v)가 일정하게 변합니다. 관의 축(r₁ = R)에서 관의 가장자리(rn)까지 각 부분의 속도는 점차 작아집니다(v₁ > v₂ > v₃ > v₄ > … > vₙ ).
위 설명으로부터 R에서 rn으로 갈수록 유체 유량이 감소한다는 것을 알 수 있습니다. 파이프 길이 = L. 얻어진 방정식:
우리가 검토하는 것은 유체 흐름 속도이므로 방정식 2 는 다음과 같이 됩니다.
위 그림은 반지름 R인 파이프에서 거리 r까지의 유체 흐름 속도를 나타내는 방정식입니다. 위 그림을 보고 혼란스러우시다면, 유체가 관을 통해 흐르므로 유체 부피의 유량을 다시 한번 살펴보아야 한다는 점을 기억해 주세요.
관 내부에는 유체가 흐릅니다. 예를 들어, 이 유체를 각각 단위 면적 dA를 갖고 관의 축으로부터 일정 간격으로 떨어져 있으며 유속 v를 갖는 미세한 부분들로 나눕니다. 이를 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
dA 1 = 유체 부분 1, 즉 튜브 축에서 dr 1 만큼 떨어진 거리입니다.
dA 2 = 유체 부분 2, 즉 튜브 축에서 dr 2 만큼 떨어진 거리입니다.
dA 3 = 유체 부분 3, 즉 튜브 축에서 dr 3 만큼 떨어진 거리입니다.
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dAn은 유체 부분 n이며, 이는 튜브 축에서 dn만큼 떨어진 거리입니다.
유체의 부분이 매우 많기 때문에 기호 n으로 표기하는 것이 더 실용적입니다. 각 유체 부분의 체적 유량은 수학적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
유체의 각 부분은 r = 0에서 r = R(R = 관의 반지름) 사이의 거리에 있습니다. 즉, 유체의 각 부분의 거리는 관의 축에서 측정했을 때 서로 다릅니다. 이제 관 내부의 유체 부피 유량에 대한 방정식을 구하겠습니다.
Q = 유량, R = 파이프 또는 튜브의 반지름, η = 점성 계수, P 1 – p 2 = 파이프 양 끝단의 압력 차이, L = 파이프 길이, p 1 -p 2 / L = 압력 구배 (유체 흐름은 항상 압력 강하 방향)
위의 푸아죄유 방정식에 따르면 유체 부피의 유량(Q)은 관의 반지름(R₄), 압력 기울기(p₂ – p₁/L)에 비례하고 점도에 반비례하는 것으로 나타납니다 . 관 의 반지름 이 추가되면(점성 계수와 고정된 압력 기울기 조건 하에서) 유체 유속은 16배 증가합니다.
배관 설계의 기본 개념에서 다음 방정식을 사용합니다. 유체 배출량은 R⁴(R = 배관 반경)에 비례합니다 . 주사기나 배관 노즐의 반경은 신중하게 계산해야 합니다. 예를 들어, 바늘의 반경을 두 배(rx²)로 늘리면 분사되는 액체 배출량은 엄지손가락으로 누르는 힘이 16배 증가합니다.
푸아죄유 방정식은 또한 반지름(r⁴)이 파이프 양 끝의 압력 차이에 반비례한다는 것을 보여줍니다 . 예를 들어, 혈액은 먼저 내경이 r인 혈관을 통해 흐릅니다. 만약 동맥이 좁아지면(예: r/2 = 혈관 반지름이 절반으로 줄어들면),
그러면 혈액이 이전처럼 흐르도록(즉, 유속이 일정하게 유지되도록) 하려면 16배의 압력 차이가 필요합니다.
