완전 탄성 충돌
두 물체의 충돌이 완전 탄성 충돌이라고 하는 것은 충돌 전 각 물체의 운동량 또는 운동 에너지가 충돌 후 각 물체의 운동량 및 운동 에너지와 같을 때를 말합니다. 다시 말해, 완전 탄성 충돌에서는 운동량 보존 법칙과 운동 에너지 보존 법칙이 성립합니다. '탄성'이라는 단어는 충돌 후 두 물체가 서로 붙지 않고 튕겨 나간다는 것을 의미합니다. 각 물체의 운동량은 보존됩니다.
각 물체의 운동량은 보존된다.
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 ' ………………….. 방정식 1.5
각 물체의 운동 에너지는 보존됩니다.
1⁄2 mv 1 2 + 1⁄2 mv 2 2 = 1⁄2 mv 1 ' 2 + 1⁄2 mv 2 ' 2 ………………….. 방정식 1.6
완전 탄성 충돌은 소음이 없어야 하며, 충돌하는 두 물체 사이의 마찰로 인한 열도 발생하지 않습니다. 만약 두 물체의 충돌에서 소음과 열이 발생한다면, 물체의 운동 에너지는 보존되지 않는 것입니다. 운동 에너지의 일부는 소리 에너지와 열 에너지로, 일부는 내부 에너지로 변환됩니다. 원자 및 아원자 입자의 충돌이 완전 탄성 충돌의 예입니다.
완전 탄성 충돌 문제에서 초기 속도는 알려져 있지만 최종 속도는 알려져 있지 않은 경우, 방정식 1.5와 1.6만으로는 문제를 해결할 수 없습니다. 따라서 두 방정식을 조작하여 최종 속도를 구할 수 있는 다른 방정식을 유도합니다.
1/2을 제거한 다음 1.6을 조작합니다.
m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2 = m 1 v 1 ' 2 + m 2 v 2 ' 2
m 1 v 1 2 – m 1 v 1 ' 2 = m 2 v 2 ' 2 – m 2 v 2 2
m 1 (v 1 2 – v 1 ' 2 ) = m 2 (v 2 ' 2 – v 2 2 ) —> (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
m 1 (v 1 + v 1 ') (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' + v 2 ) (v 2 ' – v 2 ) ………………….. 방정식 1.7
방정식 1.5를 조작하세요
m 1 v 1 – m 1 v 1 ' = m 2 v 2 ' - m 2 v 2
m 1 (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' – v 2 ) ………………….. 방정식 1.8
방정식 1.7을 방정식 1.8로 나누면 최종 결과를 얻을 수 있습니다.
( v1 + v1 ') = ( v2 ' + v2 )
v 1 – v 2 = v 2 ' – v 1 '
v 1 – v 2 = – (v 1 ' – v 2 ') ………………….. 방정식 1.9
식 1.5와 1.9는 완전 탄성 충돌 문제를 해결하는 데 사용할 수 있습니다. 식 1.5와 1.9를 결합하면 두 물체의 질량과 초기 속도를 알 수 없을 때 두 물체의 최종 속도를 구하는 두 개의 방정식을 얻을 수 있습니다.
위의 방정식을 사용하여 문제를 풀 때는 v₁과 v₂에 올바른 부호를 사용해야 합니다 . 물체 1 이 오른쪽으로 움직이면 v₁은 양수 이고, 반대로 물체 2가 왼쪽으로 움직이면 v₂ 는 음수입니다. 두 물체가 서로 다른 방향으로 움직이지만 움직임 방향에 대한 정보가 없는 경우, v₁ 과 v₂ 의 부호를 다르게 지정해야 합니다. 예를 들어, v₁ 은 양수이고 v₂ 는 음수입니다.
4.1.1 질량이 같은 두 물체
만약 m 1 = m 2 이면 , v 1 ' = v 2 및 v 2 ' = v 1 입니다.
두 물체가 서로 다른 방향으로 움직인다면 어떻게 될까요?
예를 들어, 충돌 전에 객체 1이 오른쪽으로 이동하고 객체 2가 왼쪽으로 이동했다면, 충돌 후에는 객체 1은 왼쪽으로 이동하고(v 1 ' = – v 2 ), 객체 2는 오른쪽으로 이동합니다(v 2 ' = v 1 ).
만약 두 물체 중 하나라도 처음에는 정지 상태에 있다면 어떻게 될까요?
예를 들어, 충돌 전에 물체 2가 정지해 있다면(v₂ = 0), 물체 1도 정지해 있고(v₁ ' = 0), 충돌 후 물체 2는 물체 1의 초기 속도와 같은 속도로 움직이게 됩니다(v₂ ' = v₁ ) . 만약 충돌 전에 물체 1이 오른쪽으로 움직인다면, 충돌 후 물체 2도 오른쪽으로 움직입니다. 따라서 두 물체는 속도를 교환하게 됩니다.
예시 문제 4
물체 A(2kg)와 물체 B(2kg)가 각각 4m/s와 2m/s의 속도로 반대 방향으로 움직이고 있습니다. 만약 물체 A와 B가 완전 탄성 충돌을 한다면, 물체 A와 B의 최종 속도는 얼마입니까?
알려진 바에 따르면:
m A = 2kg, m B = 2kg, v A = 4m/s, v B = – 2m/s
구함: v A ' 및 v B '
솔루션 :
v A ' = – 2 m/s 및 v B ' = 4 m/s
충돌 후, 물체 A는 2m/s의 속도로, 물체 B는 4m/s의 속도로 서로 반대 방향으로 움직입니다. 만약 충돌 전에 물체 A가 오른쪽으로, 물체 B가 왼쪽으로 움직였다면, 충돌 후에는 물체 A는 왼쪽으로, 물체 B는 오른쪽으로 움직일 것입니다.
예시 문제 5
물체 A(2kg)가 오른쪽으로 2m/s의 속도로 움직이다가 정지해 있는 물체 B(2kg)와 충돌합니다. 두 물체가 완전 탄성 충돌을 한다면, 충돌 후 물체 A와 B의 속도는 얼마입니까?
알려진 바에 따르면:
m A = 2kg, m B = 2kg, v A = 2m/s, v B = 0m/s
구함: v A ' 및 v B '
솔루션 :
v A ' = 0 및 v B ' = 2 m/s
충돌 후, 물체 A는 정지해 있고, 물체 B는 오른쪽으로 2m/s의 속도로 움직입니다.
4.1.2 질량이 다른 두 물체
두 물체의 초기 속도와 질량이 서로 다르고 (차이가 작은 경우), 최종 속도는 방정식 1.10과 1.11을 사용하여 알 수 있습니다.
만약 처음에 객체 2가 정지해 있다면(v 2 = 0), 방정식 1.10은 방정식 1.12가 되고 방정식 1.11은 방정식 1.13이 됩니다.
v₂ = 0 일 때 , m₁ 은 매우 크고 m₂ 는 매우 작으면, 방정식 1.12와 1.13을 풀면 v₁ ' = v₁ 및 v₂ ' = 2v₁ 을 얻습니다. v₂ = 0일 때, m₁ 은 매우 작고 m₂ 는 매우 크면, 방정식 1.12와 1.13을 풀면 v₁ ' = -v₁ 및 v₂ ' = 0 을 얻습니다. 양수와 음수 표시는 반대 방향의 운동 운동을 나타냅니다.
예시 문제 6
질량이 1kg인 물체가 20m/s의 속도로 움직이다가 완전탄성 충돌로 벽에 부딪힙니다. 물체와 벽의 최종 속도는 얼마입니까?
알려진 바에 따르면:
m A = 1 kg, v A = 20 m/s, m B = 매우 큼, v B = 0
구함 : v A ' 및 v B '
솔루션 :
v A ' = -20 m/s 및 v B ' = 0
충돌 후, 물체 A는 20m/s의 속도로 튕겨 나가고 물체 B는 정지 상태를 유지합니다. 충돌 전 물체 A가 오른쪽으로 움직였다면, 충돌 후에는 왼쪽으로 움직입니다.
