뉴턴의 만유인력 법칙에 관한 기사
뉴턴의 법칙을 배우면서, 처음에는 정지해 있던 물체가 움직이거나, 처음에는 움직이던 물체가 정지하게 되는 것은 물체를 움직이거나 멈추게 하는 "어떤 것"이 작용하기 때문이라는 것을 알게 되었습니다. 그 "어떤 것"을 "힘"이라고 합니다. 그렇다면 과일은 왜 줄기에서 놓으면 땅으로 떨어질까요? 뉴턴의 법칙에 따르면 과일이 움직인다는 것은 과일에 작용하는 힘이 있다는 것을 의미합니다. 과일이나 다른 물체가 땅으로 떨어지게 하는 힘을 중력 이라고 합니다.
여러분이 지금 공부하고 있는 중력과 관련된 낙하 문제는 영국의 과학자 아이작 뉴턴이 고안하고 연구한 주제입니다. 뉴턴이 생각했던 이 문제는 고대 그리스 시대부터 존재해 왔습니다. 뉴턴이 태어나기 훨씬 전부터 그리스인들은 두 가지 기본적인 문제를 탐구해 왔습니다. 바로 물체가 왜 항상 지표면으로 떨어지는지, 그리고 태양과 달을 포함한 행성들이 어떻게 움직이는지였습니다. 당시 그리스인들은 낙하하는 물체와 행성의 운동을 서로 다른 현상으로 여겼습니다. 이러한 관심은 뉴턴 시대까지 이어졌습니다. 따라서 뉴턴의 업적은 그 이전 사람들의 연구를 기반으로 한 것입니다. 뉴턴과 그 이전 사람들을 구별하는 점은 뉴턴이 낙하하는 물체와 행성의 운동이 오직 하나의 힘에 의해 발생하며 동일한 법칙을 따른다고 보았다는 것입니다. 다시 말해, 뉴턴은 물체가 지표면으로 떨어지게 하는 힘과 달이 지구 주위를 공전하게 하는 힘이 동일하다고 주장했습니다.
중력과 거리 및 질량 사이의 관계
뉴턴은 만유인력의 법칙을 정립할 때, 지구 표면 근처에서 떨어지는 과일의 가속도와 지구 주위를 공전하는 달의 구심 가속도를 비교했습니다. 뉴턴에 따르면, 떨어지는 과일이 받는 가속도와 지구 주위를 공전하는 달이 받는 구심 가속도는 모두 지구의 중력이라는 동일한 힘에 의해 발생합니다. 뉴턴은 달이 지구 주위를 공전할 때의 가속도가 1/r²에 비례한다고 주장했는데, 여기서 r은 지구 중심과 달 중심 사이의 거리로 3.84 x 10⁸ m입니다. 떨어지는 과일의 가속도는 1/R²에 비례하는데 , 여기서 R은 지구 중심과 과일 중심 사이의 거리입니다. 과일은 지구 표면 근처에 있으므로 R = RF 이며, 여기서 RE 는 지구 반지름으로 6.37 x 10⁶ m 입니다. 따라서 달의 가속도( aM )와 과일의 가속도(g)를 비교하면 다음과 같습니다 .
따라서 달의 구심 가속도는 다음과 같습니다.
a M = (2.75 x 10⁻⁴ ) (g) = (2.75 x 10⁻⁴ ) (9.8 m/s² ) = 2.7 x 10⁻³ m/ s²
뉴턴은 또한 달의 구심 가속도를 다른 방식으로 계산했습니다. 달의 공전 주기, 즉 한 바퀴를 도는 데 걸리는 시간은 27.3일, 즉 2.36 x 10⁶ 초 입니다. 달이 공전하는 경로의 길이는 달 궤도의 둘레와 같으며, 이는 2(3.14)(r)입니다. 여기서 r은 달의 중심과 지구 중심 사이의 거리입니다. 따라서 달의 구심 가속도는 다음과 같습니다.
이 계산에서 얻은 달의 구심 가속도는 이전 계산 결과와 거의 같습니다. 뉴턴의 제2법칙은 힘이 가속도에 비례한다는 것입니다(F = ma). 위의 계산은 가속도가 1/r²에 비례하거나 거리의 제곱(r²)에 반비례함을 보여줍니다 . 따라서 중력 은 1/ r² 에 비례 하거나 거리의 제곱에 반비례한다는 결론을 내릴 수 있습니다 . 수학적으로는 다음과 같습니다.
뉴턴은 중력과 물체 사이의 거리 사이의 관계뿐만 아니라 중력과 물체의 질량 사이의 관계도 연구했습니다. 뉴턴의 제3법칙은 작용력이 있으면 반작용력이 있다는 것입니다. 작용력과 반작용력은 크기가 같고 방향이 반대입니다(작용력 = 반작용력, 음의 부호는 힘의 방향이 반대임을 나타냅니다). 지구의 중력이 과일을 끌어당긴다면, 과일의 중력 또한 지구를 끌어당깁니다. 지구의 중력은 과일에 작용하고, 과일의 중력은 지구에 작용합니다. 마찬가지로 지구와 달 사이의 중력도 마찬가지입니다. 지구의 중력과 과일의 중력, 또는 지구의 중력과 달의 중력은 모두 반작용력입니다. 힘은 질량에 비례하고(F = ma), 작용력과 반작용력은 크기가 같으므로, 두 물체 사이의 중력은 두 물체의 질량에 비례해야 합니다. 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.
뉴턴의 만유인력 법칙
뉴턴의 만유인력 법칙은 우주의 모든 물체가 서로 끌어당긴다는 것을 나타냅니다. 물체 사이의 인력은 두 물체의 질량에 비례하고 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례합니다. 질량이 m₁ 과 m₂ 인 두 물체가 거리 r만큼 떨어져 있을 때, 두 물체 사이의 중력의 크기는 다음과 같습니다.
G는 중력 상수(6.673 x 10⁻¹¹ Nm² /kg² ) 입니다 . G는 실험을 통해 측정됩니다.
F12 중력은 m에 작용합니다.1 오전에2 F 동안21 중력은 m에 작용합니다.2 오전에1. 에프12 m에서 일합니다2 그리고 끌어당긴다2 m을 향하여1반면 F21 m에서 일합니다1 그리고 끌어당긴다1 m을 향하여2. 에프21 및 F12 크기는 같고 방향은 반대입니다. 따라서 F21 및 F12 작용-반작용 쌍입니다. r은 m의 중심 사이의 거리입니다.1 그리고 m의 중심2m의 중심1 는 물체의 중심에 위치하며, m의 중심도 마찬가지입니다.2만약 r이 km 단위로 표시되어 있다면, 먼저 미터(국제 단위계)로 변환됩니다.
예제 문제 1 (두 입자 사이의 중력)
질량이 각각 30kg과 40kg인 두 학생 사이의 거리가 1m일 때, 두 학생 사이의 중력을 계산하시오.
해법
중력의 크기가 너무 작아서 두 물체는 서로 끌어당기지 않습니다.
예제 문제 2 (두 입자 사이의 중력)
m이 받는 총 중력을 계산하세요.2 m1에 작용하는 중력 때문에2 그리고 m에 작용하는 중력3 오전에2중심 간 거리는 m입니다.1 그리고 m2 2미터이고 중심 간 거리는 미터입니다.2 그리고 m3 1미터입니다.
해결 방법 :
m1 이 m2 에 미치는 중력 :
m2 지점에서 m3 의 중력 :
m2 가 받는 총 중력 :
Fg 총합 = (6.673 – 1.668) x 10⁻¹¹ N = 5.005 x 10⁻¹¹ N. 아래 그림에서 F₃₂ 화살표 가 F₁₂ 화살표 보다 길기 때문에 전체 중력의 방향은 m₃ 입니다.
예제 문제 3 (총 중력 = 0):
질량이 각각 m과 5m인 두 개의 공 A와 B가 있습니다. 두 공의 지름은 같습니다. 공 A와 공 B 사이의 한 지점에서 중력이 0일 때, 그 지점에서 공 A의 표면까지의 거리는 얼마입니까?
해결 방법 :
공 A와 B의 지름은 1미터이므로, 공 A와 B의 반지름은 0.5미터입니다. 공 A와 B의 중심 사이의 거리는 6미터입니다.
질량 m을 가진 시험 입자를 A구와 B구 사이의 한 지점에 놓습니다.
F A = 공 A가 시험 입자에 가하는 중력(중력의 방향은 공 A 쪽)
F B = 공 B가 시험 입자에 가하는 중력(중력의 방향은 공 B 쪽)입니다.
따라서 시험 입자가 받는 중력이 0이 되려면 F A = F B (F A 와 F B 는 서로 반대 방향이다).
이차방정식의 공식을 이용하여 x의 값을 구하세요.
따라서 x = 4.88미터
4.88m – 0.5m = 4.38m. 중력은 공 A 표면에서 4.38m 떨어진 곳에서 0입니다. 공 B 표면으로부터의 거리는 얼마입니까?
만유인력 상수(G) 측정
몸무게를 알아보려면 저울 위에 올라가서 몸무게를 재면 됩니다. 몸무게 측정은 아주 간단하죠. 그런데 지구의 질량은 어떻게 측정할까요? 지구의 질량을 재는 데 사용하는 거대한 저울은 없습니다. 지구는 끊임없이 움직이기 때문에 저울을 사용해서는 지구의 질량을 측정할 수 없죠. 지구의 질량은 실험을 통해 측정된 만유인력 상수(G)를 계산하여 구하는 것입니다.
중량(평량)
물체의 무게는 우주에 있는 모든 물체의 중력이 그 물체에 작용하는 총합입니다. 만약 물체가 지구 표면 위나 지표면에 있다면, 우주에 있는 다른 물체들의 중력은 무시합니다. 따라서 물체의 무게는 지구의 중력이 그 물체에 작용하는 것으로 간주합니다.
w = 물체의 무게, m E = 지구의 질량, m = 물체의 질량, R E = 지구의 반지름.
물체가 지표면에서 h 높이에 있거나(예를 들어 비행기처럼 특정 높이 위에 있는 경우) 지표면에서 r 간격으로 떨어져 있는 물체가 있는 경우(단, r = R E + h),
그러면 물체에 작용하는 중력, 즉 물체의 무게는 다음과 같습니다.
이 방정식은 물체의 무게가 지구 중심으로부터의 거리의 제곱에 반비례하여 감소한다는 것을 보여줍니다. 즉, 지구 표면에서 멀어질수록 물체의 무게는 감소합니다.
중력 가속도
뉴턴의 제2법칙에 따르면, 물체의 무게는 물체가 자유낙하 가속도(중력 가속도)를 경험하게 하는 힘입니다.
w = mg
w = F g와 w = mg 두 방정식을 결합합니다.
이 방정식은 지표면 위 특정 높이에 있는 물체가 받는 중력 가속도를 설명합니다. 이 방정식을 통해 중력 가속도는 고도가 높아질수록 감소하며, 자유낙하하는 물체의 질량에는 의존하지 않는다는 것을 알 수 있습니다.
지표면 위 또는 지면보다 위에 위치한 물체의 중력 가속도:
위 식을 다음과 같이 바꾸면 지구의 질량을 계산할 수 있습니다.
이 공식을 이용하여 지구의 질량을 계산하세요!
문제와 해결책
1. 질량이 각각 6kg과 9kg인 두 물체 m1 과 m2 가 5cm 떨어져 있습니다. 질량이 1kg인 물체 m3가 두 물체 사이에 놓여 있습니다. 만약 m3 가 받는 중력이 0이라면, m3 와 m1 사이의 거리는 얼마 입니까?
중력은 F 13 = F 23 일 경우 0입니다.
a = -1, b = -20, c = 50
이차방정식 공식을 사용하세요:
결과는 음수가 될 수 없습니다. 따라서 x = r 13 = 거리 m 3 이고 m 1 = 2.25cm입니다.
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2. 두 물체 A와 B는 60cm 떨어져 있습니다. A의 질량은 24kg이고 B의 질량은 10kg입니다. 중력이 0 인 강한 지점은 어디에 있습니까 ?
중력장 = 0은 g A = g B 인 경우입니다.
a = 7
b = -1440
c=43200
이차방정식 공식을 사용하세요:
x = r A = 169.25cm 또는
x = r A = 36.46 cm
[아이알피]
