아르키메데스 원리에 관한 기사
질량이 매우 큰 배는 가라앉지 않지만, 크기가 작은 돌멩이는 가라앉을 수 있습니다. 왜 그럴까요? 부력의 개념과 아르키메데스 원리를 이해하면 답은 간단합니다.
일상생활에서 우리는 돌멩이처럼 액체 속에 있는 물체가 액체 밖에 있을 때보다 무게가 덜 나가는 것을 알 수 있습니다. 땅에서 돌을 들어 올리는 것은 어렵지만, 같은 돌이라도 바닷속에서는 쉽게 들어 올릴 수 있습니다. 이는 부력 때문입니다. 부력은 깊이에 따라 유체의 압력이 달라지기 때문에 발생합니다. 유체의 압력은 깊이가 깊어질수록 증가하며, 유체가 점성이 높을수록 압력도 커집니다. 물체를 액체 속에 넣으면 물체 위쪽과 아래쪽의 유체 압력 차이가 발생합니다. 물체 아래쪽의 유체 압력이 위쪽보다 높기 때문입니다.
그림에서 물 위에 떠 있는 물체를 볼 수 있습니다. 물체 아래쪽의 유체 압력은 물체 위쪽의 유체 압력보다 높습니다. 이는 물체 아래쪽 유체의 깊이가 위쪽 유체의 깊이보다 더 크기 때문입니다(p2 > h1).
깊이 h2에서의 유체 압력은 다음 과 같습니다.
깊이 h1에서의 유체 압력은 다음 과 같습니다.
F2 = 물체 아래쪽에서 유체가 가하는 힘, F1 = 물체 위쪽에서 유체가 가하는 힘, A = 물체의 표면적
F2 와 F1 의 차이는 유체가 물체에 가하는 총 힘이며, 이를 부력이라고 합니다. 부력의 크기는 다음과 같습니다.
부력 F = F 2 − F 1
F 부력 = (ρ gh 2 A) − (ρ gh 1 A)
F 부력 = ρ g A (h 2 − h 1 )
F 부력 = ρ F g A h
부력 F = ρ F g V
ρF = 유체 밀도, g = 중력 가속도 , V = 유체 내 물체의 부피
따라서 부력(F 부력)을 나타내는 방정식을 위와 같이 쓸 수 있습니다.
F 부력 = ρ F g V → m = ρ V
F 부력 = m F g
F 부력 = w F
m F g = w F = 담근 물체의 부피와 동일한 부피를 가진 유체의 무게.
위 방정식에 따르면 부력은 밀어낸 유체의 무게와 같고, 밀어낸 유체의 부피는 유체에 잠긴 물체의 부피와 같다고 할 수 있습니다.
만약 물체가 유체 속에 삽입되어 떠 있는 상태이고, 삽입된 부분이 물체의 일부에 불과하다면,
그러면 유체에 잠긴 물체 부분의 부피와 물체가 밀어낸 유체의 부피가 같아집니다. 물체의 종류나 모양에 상관없이 모든 사람은 동일한 현상을 경험하게 됩니다. 이것이 아르키메데스(기원전 287-212년)의 연구 결과이며, 아르키메데스의 원리로 알려져 있습니다.
아르키메데스의 원리는 다음과 같습니다.
물체가 액체에 완전히 또는 부분적으로 잠기면 액체는 물체에 위쪽 방향의 힘(부력)을 가하는데, 이 힘의 크기는 물체가 밀어낸 액체의 무게와 같습니다.
아르키메데스의 이야기
기원전 287년부터 212년 사이에 살았던 아르키메데스는 히에론 2세 왕의 의뢰를 받아 왕을 위해 제작된 왕관이 순금으로 만들어졌는지 조사했습니다. 왕관이 순금인지 다른 금속이 섞인 것인지 확인하는 과정에서 아르키메데스는 처음에는 난관에 봉착했습니다. 왕관의 모양이 불규칙적이어서 먼저 파괴할 수 없었기 때문입니다.
왕관이 순금으로 만들어졌는지 여부를 판별하는 방법은 먼저 왕관의 무게를 측정한 다음 금의 비중과 비교하는 것입니다. 왕관이 순금으로 만들어졌다면 왕관의 비중은 금의 비중과 같습니다.
물체의 비중은 공기 중에서 그 물체의 무게와 그 물체와 동일한 부피를 가진 물의 무게의 비율입니다. 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.
물체와 동일한 부피를 가진 물의 무게를 어떻게 측정할 수 있을까요?
아르키메데스에 따르면, 물체의 부피와 같은 부피를 가진 물의 무게는 물체가 가라앉을 때(물체의 전체가 물에 잠길 때) 작용하는 부력과 같습니다. 이는 물속에서 무게를 <binary data, 8 bytes>할 때 물체의 무게가 줄어드는 것과 같은 원리입니다. 따라서 다음과 같습니다.
왕관의 비중을 측정하려면 먼저 왕관을 공기 중에서 무게를 잰다(공기 중에서의 왕관 무게). 그런 다음 왕관을 물에 넣고 다시 무게를 재어 왕관의 무게 감소량을 구한다. 따라서:
왕관의 비중을 측정한 후 금의 비중과 비교합니다. 금의 비중은 19.3입니다. 왕관의 비중이 금의 비중과 같으면 왕관은 순금으로 만들어진 것입니다. 하지만 왕관이 순금으로 만들어지지 않았다면 왕관의 비중은 금의 비중과 같지 않습니다.
배는 왜 가라앉지 않을까요?
물체의 밀도가 물의 밀도보다 작으면 물체는 떠오릅니다. 반대로 물체의 밀도가 물의 밀도보다 크면 물체는 가라앉습니다. 대부분의 배는 철과 강철로 만들어집니다. 철과 강철의 밀도는 7.8 x 10³ kg /m³ 이고 물의 밀도는 1.00 x 10³ kg /m³ 입니다 . 철과 강철의 밀도가 물의 밀도보다 큰 것처럼 보입니다. 이 경우 철과 강철의 비중은 7.8입니다. 따라서 배는 가라앉아야 합니다. 하지만 왜 배는 가라앉지 않을까요? 배 전체의 밀도가 물 또는 바닷물의 밀도보다 작기 때문입니다.
예제 문제 1:
질량이 40kg인 돌이 연못 바닥에 있습니다. 돌의 부피가 0.2m³일 때, 이 돌을 들어 올리는 데 필요한 최소 힘은 얼마입니까?
모두 다 아는:
돌의 질량(m) = 40kg
돌의 부피(V) = 0.02 m³
물의 밀도 = 1000 kg/ m³
중력 가속도(g) = 10 m/ s²
구함: 최소 F 등급
해결 방법 :
F 부력 = w F
F 부력 = m F g → m = pV
부력 F = ρ F g V
부력 F = (1000 kg/m 3 )(10 m/s 2 )(0.02 m 3 )
부력 F = 200 kg m/ s²
F 부력 = 200 N
돌의 무게(w) = mg
돌의 무게 = (40 kg)(10 m/ s² )
돌의 무게 = 400 kg m/ s²
돌의 무게 = 400 N
돌 을 들어 올리는 데 필요한 최소 힘 :
돌의 무게 - 부력 = 400N - 200N = 200N
예제 문제 2:
물 속에서 물체의 무게는 5000 kg m/s² 이고 , 물 속에서 물체의 무게는 4000 kg m/s²입니다 . 물체의 밀도가 2000 kg/m³일 때 , 물체의 질량과 부피는 얼마입니까? g = 10 m/ s²
해법
중력 가속도(g) = 10 m/ s²
물체의 밀도 = 2000 kg/ m³
물의 밀도 = 1000 kg/ m³
공기 중 물체의 무게 = 5000 kg m/ s²
물 속 물체의 무게 = 4000 kg m/ s²
부력(F buoyancy) = 공기 중에서 물체의 무게 - 물 속에서 물체의 무게
부력 F = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
부력 F = 1000 kg m/ s²
부력 = 밀어낸 물의 무게
부력 F = (물의 질량)(g)
부력 F = (물체 부피)(물의 밀도)(g)
밀어낸 물의 부피 = 물 속에 있는 물체의 부피
물체의 부피 = 0.1 m³
물체의 질량 = ?
ρ = m / V
m = ρ V
m = (2000kg/m3 ) ( 0.1m3 )
m = 200kg
물체의 질량 = 200kg
예제 문제 3:
풍선이 500kg의 하중을 들어 올리려면 헬륨이 얼마나 필요할까요?
해결 방법 :
헬륨의 밀도 = 0.1786 kg/ m³
공기의 밀도 = 1.293 kg/ m³
부력 = 밀어낸 공기의 무게 = 물체의 무게 + 헬륨의 무게
부력 = 물체의 무게 + 헬륨의 무게
부력 = (하중의 질량)(g) + (헬륨의 질량)(g)
부력 = (하중의 질량 + 헬륨의 질량)g — 방정식 1
부력 = 밀려난 공기의 무게
부력 = (변위된 공기의 질량)(g) — 방정식 2
방정식 1과 방정식 2를 결합합니다.
(하중의 질량 + 헬륨의 질량)(g) = (밀려난 공기의 질량)(g)
하중의 질량 + 헬륨의 질량 = 밀려난 공기의 질량
500 kg + (ρ 헬륨)(V 헬륨) = (ρ 물)(V 물)
500 kg = (ρ 물)(V 물) – (ρ 헬륨)(V 헬륨)
밀어낸 공기의 부피(V air) = 풍선 안의 헬륨 부피(V helium)
500kg = (ρ 물 – ρ 헬륨)(V)
이는 지표면에서 물체를 띄우는 데 필요한 최소 헬륨량입니다. 풍선을 더 높이 띄우려면 헬륨을 더 넣어야 합니다. 공기의 밀도는 고도가 높아질수록 감소하기 때문에 헬륨의 양을 늘려야 합니다.
