관성 모멘트

1. 입자의 관성 모멘트

회전하는 입자를 살펴보겠습니다. 질량 m인 입자에 힘 F가 작용하여 입자가 축 O를 중심으로 회전합니다. 입자는 회전축으로부터 r만큼 떨어져 있습니다. 처음에는 입자가 정지해 있습니다(v = 0). 힘 F에 의해 움직이기 시작하면 입자는 일정한 속도로 움직이며 접선 가속도를 갖습니다. 힘(F), 질량(m), 그리고 입자의 접선 가속도 사이의 관계는 식 3으로 표현됩니다.

F = ma _tan (방정식 3)

입자들이 회전하면서 각가속도를 갖게 됩니다. 접선가속도와 각가속도 사이의 관계는 방정식 4로 표현됩니다.

a _tan = r α (방정식 4)

방정식 3의 a를 방정식 4의 a로 대체합니다.

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (식 5)

rF는 힘의 모멘트이고 mr² ^는 입자의 관성 모멘트입니다. 식 5는 회전하는 입자의 힘의 모멘트, 관성 모멘트 및 각가속도 사이의 관계를 나타냅니다. 식 5는 회전하는 입자에 대한 뉴턴의 제2법칙의 식입니다.

입자의 관성 모멘트 는 입자의 질량(m)과 회전축과의 거리의 제곱(r²)의 곱 ^입니다.

I = mr ² (방정식 6)

I는 입자의 관성 모멘트, m은 입자의 질량, r은 입자와 회전축 사이의 거리입니다. 식 6은 입자의 관성 모멘트를 구하는 데 사용됩니다.

3.2 입자의 관성 모멘트 예제 문제

예제 문제 1.

질량이 2kg인 입자를 길이 0.5m의 줄에 묶어 회전시켰습니다. 회전하는 입자의 관성 모멘트는 얼마입니까?

해결 방법 :

나 = ^{2번 씨}

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg m ²

예제 문제 2.

질량이 각각 2kg과 4kg인 두 입자가 길이가 2m인 가벼운 줄로 연결되어 있습니다. 줄의 질량은 무시합니다. 두 입자의 관성 모멘트를 구하세요.

a) 회전축은 두 입자 사이에 위치한다

해결 방법 :

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg m ²

b) 회전축은 질량이 2kg인 입자로부터 0.5미터 떨어진 곳에 있습니다.

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg m ²

c) 회전축은 질량이 4kg인 입자로부터 0.5미터 떨어진 곳에 있습니다.

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg m ²

위 계산 결과에 따르면 관성 모멘트는 회전축의 위치에 의해 크게 영향을 받습니다. 모양과 크기는 같더라도 회전축의 위치가 다르면 관성 모멘트는 달라집니다.

회전축에 가까운 입자는 관성 모멘트가 작고, 회전축에서 멀리 떨어진 입자는 관성 모멘트가 큽니다. 위의 두 입자가 강체라고 가정하면, 각 입자는 회전축 근처에 있습니다.

회전축에서 더 멀리 떨어진 입자의 관성 모멘트보다 더 작은 관성 모멘트를 가지고 있다.

3.3 균질한 강체의 관성 모멘트

강체는 수많은 입자로 이루어져 있습니다. 강체의 관성 모멘트는 강체를 구성하는 각 입자의 관성 모멘트의 총합입니다.

I = Σ mr ²

나 = 엠₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

강체의 관성 모멘트를 구하려면 회전하는 물체를 살펴봐야 합니다. 회전축의 위치가 물체의 관성 모멘트에 영향을 미치기 때문입니다. 각 입자의 관성 모멘트(I)는 입자의 질량(m)과 회전축으로부터 입자까지의 거리(r²)의 제곱에 따라 달라집니다 ^. 물체를 구성하는 모든 입자의 질량을 합하면 물체의 질량이 됩니다.

문제는 각 입자가 회전축으로부터 떨어진 거리가 제각기 다르다는 점입니다.

손가락 개수 R과 질량 M을 가진 얇은 반지의 관성 모멘트 공식의 감소를 검토하십시오.

회전축이 고리의 중심에 위치하면, 얇은 고리의 모든 입자는 회전축을 기준으로 위치하게 됩니다. 따라서 얇은 고리의 관성 모멘트는 모든 입자의 관성 모멘트의 합과 같습니다.

나 = Σ mr²

나 = 엠₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

모든 입자의 질량 = 얇은 고리의 질량(M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

얇은 고리의 각 입자는 회전축으로부터 r만큼 떨어져 있으므로 r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R 입니다.

얇은 고리의 관성 모멘트 방정식:

I = MR ²

I = 가는 고리의 관성 모멘트, M = 가는 고리의 질량, R = 가는 고리의 반지름.

회전축이 고리의 중심에 위치하지 않으면 어떻게 될까요? 회전축이 고리의 중심에 위치하지 않으면 위의 방법으로는 얇은 고리의 관성 모멘트 공식을 유도할 수 없습니다.

각 입자가 회전축으로부터 떨어진 거리가 다르기 때문입니다. 이러한 문제에 대한 관성 모멘트 공식 유도는 이 주제에서 다루지 않습니다.

일부 강체 물체의 관성 모멘트 공식

3.4 균질 강체의 관성 모멘트 예제 문제

예제 문제 1:

막대 원통 AB는 B점을 중심으로 회전할 때 질량이 3kg입니다.

관성 모멘트는 27 kg m²입니다 ^. 만약 의 경우 관성 모멘트는 얼마입니까?

C를 통해 회전했나요?

해결 방법 :

해결 방법 :

균일한 고체 막대의 관성 모멘트 공식 (회전축은 막대의 중심에 있음):

I = 1/12 ML ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

균일한 고체 막대의 관성 모멘트 공식 (회전축은 막대의 가장자리에 위치):

I = 1/3 ML ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg m ²