이 방정식은 장 루이 마리 푸아죄유(Jean Louis Marie Poiseuille, 1799-1869)가 발견했기 때문에 푸아죄유 방정식이라고 불립니다. 설명했듯이 모든 유체는 이상 유체로 간주할 수 있습니다. 이상 유체는 점성이 없습니다. 이상 유체가 파이프를 따라 흐른다고 상상해 보면, 유체의 모든 부분이 동일한 속도(v)로 움직입니다. 이상 유체와 달리 실제 유체, 즉 우리가 일상생활에서 접하는 유체는 점성을 가지고 있습니다. 점성 때문에 파이프를 따라 흐를 때 유체의 각 부분의 속도가 다릅니다. 파이프 가운데 부분의 유체는 더 빠르게 움직이고(v가 큼), 파이프 가장자리에 붙어 있는 유체는 움직이지 않습니다(v = 0). 따라서 파이프의 중심에서 가장자리까지 유체의 모든 부분은 서로 다른 속도로 움직입니다. 이해를 돕기 위해 아래 그림을 참고하세요.
설명 :
R = 파이프/튜브의 반지름
v1 = 튜브 중심/축 방향의 유체 유량
v2 = 거리 r에서의 유체 유량2 튜브 가장자리에서
v3 = 거리 r에서의 유체 유량3 튜브 가장자리에서
v4 = 거리 r에서의 유체 유량4 튜브 가장자리에서
r = 거리
각 유체의 유량을 동일하게 유지하려면 유체가 흐르는 모든 파이프나 튜브의 양 끝에 압력 차이가 있어야 합니다. 여기서 유체란 파이프를 통해 흐르는 물이나 기름, 혈관을 통해 흐르는 혈액 등과 같은 실제 유체를 의미합니다. 압력 차이는 실제 유체가 원활하게 흐르도록 도울 뿐만 아니라, 파이프 내에서 유체가 서로 다른 높이에서 흐르도록 해줍니다.
프랑스의 전직 과학자 장 루이 마리 푸아죄유는 인체 혈액 순환의 물리적 측면에 관심을 갖고 압력 차이, 관의 단면적, 관의 크기 등의 요소가 실제 유체의 속도에 어떻게 영향을 미치는지 연구했습니다. 장 루이 마리 푸아죄유가 얻은 결과는 푸아죄유 방정식으로 알려져 있습니다.
푸아즈유 방정식은 앞서 유도한 점성 계수 방정식을 이용하여 유도할 수 있습니다. 점성 계수 방정식을 사용하는 이유는 두 경우가 완전히 동일하지는 않지만 유사하기 때문입니다. 점성 계수 방정식을 유도할 때는 두 평행판 사이의 실제 유체층의 흐름을 고려했으며, 유체는 인장력(F)에 의해 움직일 수 있다고 가정했습니다. 하지만 우리가 유도할 푸아즈유 방정식은 파이프/튜브 내 실제 유체의 흐름에 영향을 미치는 요인들을 나타내며, 유체는 압력 차이에 의해 흐릅니다. 따라서 점성 계수 방정식을 다시 조정해야 합니다.
유체는 압력 차이로 인해 흐를 수 있으므로(유체는 고압에서 저압으로 흐름), F를 p로 대체합니다.1 – 피2 (p1 > 피2).
점성 계수에 대한 방정식을 유도할 때, 두 평행판 사이의 실제 유체층의 흐름을 고려합니다. 유체의 각 부분은 거리 l만큼 일정한 속도 변화를 겪습니다. 이 경우 유체 유량은 관의 축에서 관 가장자리까지 일정한 속도로 변화합니다. 관의 축에 있는 유체는 더 빠른 속도(v)로 흐릅니다. 가장자리로 갈수록 유체 속도는 감소합니다. 관의 반지름은 관의 축과 관 가장자리 사이의 거리 = R입니다. 유체의 각 부분과 관 가장자리 사이의 거리는 r입니다. 유체의 각 부분의 수가 매우 많고 관 가장자리로부터의 거리도 다양하기 때문에 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있습니다.
v1 = 튜브 가장자리에서 거리 r1만큼 떨어진 지점에서의 유체 속도 (r1 = R)
v2 = 튜브 가장자리에서 거리 r2 떨어진 지점에서의 유체 속도 (r2 < r1)
v3 = 튜브 가장자리에서 거리 r3 떨어진 지점에서의 유체 속도 (r3 < r2 < r1)
v4 = 튜브 가장자리에서 거리 r4 떨어진 지점에서의 유체 속도 (r4 < r3 < r2 < r1)
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vn = 튜브 가장자리에서 거리 rn만큼 떨어진 지점에서의 유체 속도 (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
유체의 각 부분의 수는 매우 많고 정확한 양을 알 수 없으므로 기호 n으로 나타내는 것으로 충분합니다. 유체의 각 부분은 관의 축(r1 = R)에서 관의 가장자리(rn)까지 일정한 변화율(v)을 경험합니다. 관의 축(r1 = R)에서 관의 가장자리(rn)로 갈수록 각 부분의 변화율은 감소합니다(v1 > v2 > v3 > v4 > … > vn).
위 설명에서 알 수 있듯이 R에서 rn으로 갈수록 유체 유량이 감소합니다. 파이프의 길이는 L입니다. 얻어진 방정식은 다음과 같습니다.
우리가 고려하는 것은 유체 흐름 속도(v)이므로 방정식 2는 다음과 같이 됩니다.
위 그림은 반지름이 R인 파이프에서 거리 r만큼 떨어진 지점에서의 유체 유량을 나타내는 방정식입니다. 만약 위 그림을 보고 이해가 잘 안 되신다면... 유체가 파이프나 관을 통해 흐른다는 점을 기억해 주세요. 따라서 유체의 체적 유량을 다시 한번 살펴볼 필요가 있습니다.
관 내부에는 유체가 흐릅니다. 예를 들어, 이 유체를 매우 작은 조각들로 나누는데, 각 조각은 단위 면적 dA를 가지며, 관의 축으로부터 일정 거리만큼 떨어져 있고, 유량 v를 갖습니다. 이를 수학적으로는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
dA1은 유체 단면 1을 나타내며, 이는 튜브 축으로부터 1만큼 떨어진 위치에 있습니다.
dA2은 유체 단면 2을 나타내며, 이는 튜브 축으로부터 2만큼 떨어진 위치에 있습니다.
dA3은 유체 단면 3을 나타내며, 이는 튜브 축으로부터 3만큼 떨어진 위치에 있습니다.
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dA n = 유체 단면 n, 즉 튜브 축에서 dA n만큼 떨어진 거리
유체 조각이 너무 많아서 편의상 기호 n으로 표기합니다. 각 유체 조각의 체적 유량은 수학적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
각 유체 입자는 r = 0에서 r = R(R = 관의 반지름) 사이의 거리에 있습니다. 즉, 각 유체 입자의 거리는 관의 축에서 측정했을 때 서로 다릅니다. 미적분(적분)을 이용하면 관 내 유체의 체적 유량에 대한 방정식을 얻을 수 있습니다.
설명 :
Q = 차변
R = 파이프 또는 튜브의 내부 반지름
η = 점도 계수
P1 – 피2 = 파이프 양 끝단의 압력 차이
L = 파이프의 길이
p1-p2/L = 압력 기울기 (유체 흐름은 항상 압력이 감소하는 방향으로 흐릅니다)
위의 푸아죄유 방정식에 따르면 유체의 체적 유량, 즉 유량(Q)은 관의 반지름(R)의 네제곱에 비례하는 것으로 보입니다.4), 압력 기울기(p2 – 피1 유량은 L당 1리터(L/L)이며 점도에 반비례합니다. 관의 반지름이 증가하면(점도 계수와 압력 기울기는 일정하게 유지됨) 유체 유량은 16배 증가합니다.
파이프, 주사기 등의 설계 기본 개념은 이 방정식을 사용합니다. 유체 배출량은 R에 비례합니다.4 (R = 튜브의 반지름). 주사기 또는 파이프의 반지름은 신중하게 계산해야 합니다. 예를 들어 바늘의 반지름을 두 배(r x 2)로 늘리면 분사되는 액체의 양이 늘어나 엄지손가락으로 누르는 압력이 16배 증가합니다.
푸아죄유 방정식은 또한 반지름(r)의 네제곱이4)는 파이프 양 끝단의 압력 차이에 반비례합니다. 예를 들어, 처음에는 내경이 r인 혈관에 혈액이 흐릅니다. 혈관이 좁아지면(예: r/2 = 혈관 내경이 2배로 줄어들면), 혈액이 이전과 같은 속도로 흐르도록 하려면(즉, 유량 또는 혈액량/유속이 일정하게 유지되도록 하려면) 16배의 압력 차이가 필요합니다.
