단위 벡터 성분을 사용한 내적

Materi Perkalian Titik Menggunakan Komponen 단위 벡터

Kita dapat menghitung perkalian skalar secara langsung jika kita mengetahui komponen x, y dan z dari vektor A 단 B (vektor yang diketahui).

Untuk melakukan perkalian titik dengan cara ini, terlebih dahulu kita lakukan perkalian titik dari vektor satuan, setelah itu kita nyatakan vektor A 단 B 그 구성 요소로 분해하고, 곱셈을 분해한 다음 단위 벡터의 곱셈을 사용합니다.

Vektor satuaj i, j 단 k saling tegak lurus satu sama lain, sehingga memudahkan kita dalam perhitungan. Menggunakan persamaan perkalian skalar yang telah diturunkan di atas (AB = AB 코사인 TETA) kita peroleh :

i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1

i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90^o = 0

Sekarang kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.

A . B = A_xi . B_xi + A_xi . B_yj + A_xi . B_zk +

A_yj . B_xi + A_yj . B_yj + A_yj . B_zk +

A_zk . B_xi + A_zk . B_yj + A_zk . B_zk

A . B = A_xB_x (i . i) + A_xB_y (i . j) + A_x B_z (i . k) +

A_yB_x (j . i) + A_yB_y (j . j) + A_yB_z (j . k) +

A_zB_x (k . i) + A_zB_y (k . j) + A_zB_z (k . k)

카레 나 i . i = j . j = k . k = 1 dan i . j = i . k = j . k = 0, maka :

A . B = A_xB_x (1) + A_xB_y (0) + A_x B_z (0) +

A_yB_x (0) + A_yB_y (1) + A_yB_z (0) +

A_zB_x (0) + A_zB_y (0) + A_zB_z (1)

A . B = A_xB_x (1) + 0 + 0 +

0+ A_yB_y (1) + 0 +

0 + 0 + A_zB_z (1)

_A . B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z

Berdasarkan hasil perhitungan ini, bisa disimpulkan bahwa perkalian skalar atau perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari perkalian komponen-komponennya yang sejenis.

Contoh Soal 1 :

Besar vektor A 단 B berturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Sudut yang terbentuk adalah 90^o. Hitunglah 내적 kedua vektor.

논의

Sebelum kita menghitung perkalian titik vektor A dan B, terlebih dahulu kita ketahui komponen vektor kedua tersebut.

A_x = (5) cos 0^o = (5) (1) = 5

A_y = (5) sin 0^o = (5) (0) = 0

A_z = 0

B_x = (4) cos 90^o = (4) (0) = 0

B_y = (4) sin 90^o = (4) (1) = 4

B_z = 0

벡터 A hanya mempunyai komponen vektor pada sumbu x dan vektor B hanya mempunyai komponen vektor pada sumbu y. Komponen z bernilai nol karena vektor A 단 B berada pada bidang xy.

Sekarang kita hitung perkalian titik antara vektor A 단 B menggunakan persamaan perkalian titik dengan vektor komponen :

_A. B = A_x B_x + A_yB_y + A_zB_z

A. 나 = (5) (0) + (0) (4) + 0

A. 나 = 0 + 0 + 0

A. 나 = 0

Coba kita bandingkan dengan cara pertama

A.B = AB 코사인 TETA

A.B = (4)(5) cos 90

A.B = (4) (5) (0)

A.B = 0

Hasilnya sama.

Contoh Soal 2 :

^{Besar vektor} A 단 B berturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Hitunglah 내적 kedua vektor tersebut, jika sudut yang terbentuk adalah 30^o

논의

Sebelum kita menghitung perkalian titik vektor A dan B, terlebih dahulu kita ketahui komponen vektor kedua tersebut.

Komponen z bernilai nol karena vektor A 단 B berada pada bidang xy.

Sekarang kita hitung perkalian titik antara vektor A 단 B menggunakan persamaan perkalian titik dengan vektor komponen :

Bandingkan dengan cara pertama.