무한 기하급수에 관한 예제 문제
무한 등비급수는 항의 개수가 무한히 많은 등비수열입니다. 이러한 급수는 합(또는 극한값)을 계산할 수 있기 위해 특정한 조건을 만족해야 합니다. 이 글에서는 무한 등비급수의 기본 개념, 구성 조건, 그리고 몇 가지 예제와 그 풀이를 살펴보겠습니다.
무한 기하급수의 기본 개념
기본적으로 등비수열은 첫째항 이후의 각 항이 이전 항에 공비(r)라는 상수를 곱하여 얻어지는 수열입니다. 다음과 같은 등비수열이 있다고 가정해 봅시다.
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
무한 등비급수의 경우, 급수의 모든 항의 합을 고려합니다. 이 급수의 합은 다음과 같이 정의됩니다.
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
무한 등비급수의 합은 비 |r| < 1 일 때만 수렴한다(합이 일정하다). 만약 |r| ≥ 1 이면, 그 급수는 발산하여 합이 일정하지 않다(무한대로 간다).
만약 \( |r| < 1 \)이면, 무한 등비급수의 합 S는 다음과 같이 정의됩니다. \[ S = \frac{a}{1-r} \] 여기서: - \( S \)는 급수의 합, - \( a \)는 첫째항, - \( r \)은 비입니다. 예제 문제 및 해설 예제 문제 1 문제: 다음 무한 등비급수의 합을 구하시오. \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] 해설: 급수의 주요 요소를 살펴보겠습니다. 첫째항은 \( a = 3 \)입니다. 비 \( r \)는 둘째항을 첫째항으로 나누어 구할 수 있습니다. 즉, \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] \( |r| = 0.5 < 1 \)이므로, 이 급수는 수렴하며 무한 등비급수의 합을 계산할 수 있습니다. 무한 등비수열의 합 공식 \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] 따라서 무한 등비수열의 합은 6입니다. 예제 문제 2: 첫째항이 8이고 공비가 \( r = -\frac{1}{3} \)인 무한 등비수열의 합을 구하세요. 토론: 첫째항 \( a = 8 \)이고, 비 \( r = -\frac{1}{3} \)입니다. \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \)이므로 이 급수는 수렴하고 무한 등비급수의 합을 계산할 수 있습니다. 무한 등비급수의 합 공식을 사용합니다. \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] 따라서 무한 등비급수의 합은 6입니다. 예제 문제 3: 다음 급수는 무한 합을 갖습니까? 그렇다면 합을 구하세요. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] 설명: 첫 번째 항 \( a = 5 \) 비율 \( r \)은 두 번째 항을 첫 번째 항으로 나누어 구할 수 있습니다. 즉, \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] \( |r| = 0.5 < 1 \)이므로 이 급수는 수렴하고 무한 급수의 합을 계산할 수 있습니다. 무한 등비급수의 합 공식을 사용하세요: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] 따라서 무한 등비급수의 합은 10입니다. 예제 문제 4 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판별하세요: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] 논의: 첫 번째 항 \( a = 4 \)에서, 두 번째 항을 첫 번째 항으로 나누어 비율 \( r \)을 구할 수 있습니다. 즉, \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \]입니다. \( |r| = 1.5 > 1 \)이므로, 이 급수는 발산하며 합이 일정하지 않습니다.그래서, 시리즈는 분기됩니다.
예시 문제 5
질문: 다음과 같은 무한 급수가 있다고 가정해 봅시다.
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
급수의 합을 구하세요.
논의:
첫 번째 항 \( a = \frac{1}{2} \)
비율 \( r \)은 두 번째 항을 첫 번째 항으로 나누어 구할 수 있습니다. 즉, 다음과 같습니다.
\[ r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
\( |r| = \frac{1}{2} < 1 \)이므로 이 급수는 수렴하고 무한 등비급수의 합을 계산할 수 있습니다. 무한 등비급수의 합 공식을 사용하면 다음과 같습니다. \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] 따라서 무한 등비급수의 합은 1입니다. 결론적으로, 무한 등비급수는 다양한 분야에서 폭넓게 응용되는 중요한 수학적 개념입니다. 무한 등비급수의 합을 구하려면 비율 \( |r| < 1 \)을 만족해야 합니다. 따라서 간단하고 직관적인 공식을 사용하여 급수의 합을 계산할 수 있습니다. 위의 예제 문제를 통해 이 방법을 사용하면 무한 등비급수 관련 문제를 매우 쉽게 해결할 수 있음을 알 수 있습니다.
