ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಅವುಗಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧಗಳಿವೆ: ಡಾಟ್ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ. ಡಾಟ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ A ಡಾನ್ B. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ A ಡಾನ್ B ಹೇಳಲಾಗಿದೆ ಎಬಿ ಕೆಅಖಾಡವು ಚುಕ್ಕೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಈ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರ A ಡಾನ್ B ಹೇಳಲಾಗಿದೆ A x ಬಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ x, ನಂತರ ಈ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಅಡ್ಡ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ A ಡಾನ್ B ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನ A ಡಾನ್ B ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಬಿ (A ಬಿಂದು B).

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು A ಡಾನ್ B (ಎಬಿ), ಚಿತ್ರಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ A ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ವೈ ಅವರಿಂದಇದು ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ θ. ಮುಂದೆ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. B ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕಡೆಗೆ Aಈ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ B ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ A, ಇದು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ್ದಾಗಿದೆ B ಕಾಸ್ θ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಬಿ ದೊಡ್ಡ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ A ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ B ಇದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ Aಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

AB ಕಾಸ್ θ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸ್ಕೇಲಾರ್). ಆದ್ದರಿಂದ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? A ಡಾನ್ B ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ ಬಿಎ ? ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೊದಲು ಬಿಎ, ಮೊದಲು ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ A ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಬಿ (ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ).

ಈ ಚಿತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಬಿಎ ದೊಡ್ಡ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ B ವೆಕ್ಟರ್ ಘಟಕಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ A ಇದು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ Bಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶ ಎಬಿ = AB ಕಾಸ್ θ ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶ ಬಿಎ = BA ಕಾಸ್ θಏಕೆಂದರೆ AB ಕಾಸ್ θ = BA ಕಾಸ್ θ, ನಂತರ ಅದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಬಿ = ಬಿಎ

ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಚುಕ್ಕೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ವಿಷಯಗಳು:

1. ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪರಿವರ್ತನಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಎಬಿ = ಬಿಎ

2. ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಿತರಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಎ. (ಬಿ + ಸಿ) = ಎಬಿ + ಎಸಿ

3. ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ A ಡಾನ್ B ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿ, ನಂತರ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶ ಎಬಿ = 0

ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವಾಗ A ಡಾನ್ B ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವು 90 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.^o. ಅಂದರೆ 90^o = 0. ಹೀಗೆ: ಎಬಿ = AB ಕಾಸ್ ಟೈಟ್ = AB cos 90^o = 0. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಬಿಎ = BA ಕಾಸ್ ಟೈಟ್ = BA cos 90^o = 0

4. ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ A ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು B ಒಂದು ದಾರಿ, ಮಕಾ ಎಬಿ = AB cos 0^o = AB

ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವಾಗ A ಡಾನ್ B ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಆಗ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.^oಅಂದರೆ 0 = 1. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಬಿ = AB ಕಾಸ್ ಟೈಟ್ = AB cos 0^o = AB. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬಿಎ = BA ಕಾಸ್ ಟೈಟ್ = BA cos 0^o = BA

(ನೀವು ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು AB ಡಾನ್ BAದೊಡ್ಡದು AB = ದೊಡ್ಡದು BAಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಮಾಣ A = 2. ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಮಾಣ B = 3. ನಂತರ ಎಬಿ = 2.3 = 6; ಇದು ಬಿಎ = 3.2 = 6

^{5. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರಲು ಮತ್ತೊಂದು ಷರತ್ತು, ಒಂದು ವೇಳೆ} ಎ = ಬಿ ನಂತರ ಪಡೆಯಲಾಯಿತು ಎಎ = A² ಅಥವಾ ಬಿಬಿ = ಬಿ²

6. ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ A ಡಾನ್ B ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವು 180º ಆಗಿರುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶ ಎಬಿ = AB ಅಂದರೆ ೧೮೦º = ಎಬಿ (-1) = -ಎಬಿ.

ಅಂದರೆ ೧೮೦º = -೧.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆ:

^{ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್} A 4 ಘಟಕಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. B 3 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಗಳು 60º, 90º ಮತ್ತು 180º ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.^o

ಚರ್ಚೆ

ಏಕೆಂದರೆ ಎಬಿ = ಬಿಎ ನಂತರ ನಾವು ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ AB

ಎಬಿ = AB ಕಾಸ್ ಟೈಟ್

ದೊಡ್ಡದು A = 4 ಘಟಕಗಳು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದು B = 3 ಘಟಕಗಳು.