ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಕುರಿತು ಚರ್ಚಾ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಉದಾಹರಣೆ
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಗೌಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ನಿರಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತೀರ್ಮಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಊಹೆಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಅನುಕೂಲಕರ ಗಣಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ (µ) ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (σ) ನೊಂದಿಗೆ ನಿಯತಾಂಕೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟತೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಆಳವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಈ ಲೇಖನವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬೆಲ್ ಕರ್ವ್ನಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮಧ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿಯ ಸುತ್ತ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ (µ) ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (σ) ಡೇಟಾದಲ್ಲಿನ ಹರಡುವಿಕೆಯ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಕಾರ್ಯ (PDF):
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}}]
ಎಲ್ಲಿ:
– \( \mu \) ಸರಾಸರಿ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿ
– \( \sigma \) ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ
– \( x \) ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), ಆಗ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ \( E(X) \) ಆಗಿರುತ್ತದೆ:
\[ ಇ(ಎಕ್ಸ್) = \ಮು \]
ನಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯೋಣ.
ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆ
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 1:
\( X \) ಎಂಬುದು \( \mu = 50 \) ಮತ್ತು \( \sigma = 10 \) ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. \( X \) ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.
ಚರ್ಚೆ:
ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ \( E(X) \) \( \mu \) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,
\[ ಇ(ಎಕ್ಸ್) = \ಮು = 50 \]
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 2:
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ \( Y \) ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ \( \mu = 120 \) ಮತ್ತು \( \sigma = 15 \) ನೊಂದಿಗೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. \( Y \) ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಚರ್ಚೆ:
ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆಯೇ, \( Y \) ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಮ ಮೌಲ್ಯ ಅಥವಾ ಸರಾಸರಿಯಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:
\[ ಇ(ವೈ) = \ಮು = 120 \]
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 3:
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ \( Z \) \( \mu = 0 \) ಮತ್ತು \( \sigma = 1 \) (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ) ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, \( Z \) ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಎಷ್ಟು?
ಚರ್ಚೆ:
ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಸರಾಸರಿ \( \mu = 0 \) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ \( E(Z) \) ಆಗಿದೆ:
\[ ಇ(ಝಡ್) = \ಮು = 0 \]
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 4:
\( W \) ಸರಾಸರಿ \( \mu = 75 \) ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ \( \sigma = 20 \) ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಸ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ \( V = 2W + 3 \) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, \( V \) ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಎಷ್ಟು?
ಚರ್ಚೆ:
\( V \) ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ರೇಖೀಯತೆಯ ಗುಣವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. \( V = 2W + 3 \) ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ:
\[ ಇ(ವಿ) = ಇ(2ಡಬ್ಲ್ಯೂ + 3) \]
ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ರೇಖೀಯತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು:
\[ ಇ(ವಿ) = 2ಇ(ಡಬ್ಲ್ಯೂ) + ಇ(3) \]
ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಥಿರಾಂಕವೇ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು:
\[ ಇ(3) = 3 \]
ಮತ್ತು \( W \) ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿ \( W \):
\[ ಇ(ಡಬ್ಲ್ಯೂ) = \mu = 75 \]
ಆದ್ದರಿಂದ,
\[ ಇ(ವಿ) = 2 \ ಬಾರಿ 75 + 3 \]
\[ ಇ(ವಿ) = 150 + 3 \]
\[ ಇ(ವಿ) = 153 \]
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 5:
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ \( Q \) ಸರಾಸರಿ \( \mu = 40 \) ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ \( \sigma = 5 \) ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. \[ U = Q/2 \] ಆಗಿದ್ದರೆ \( Q \) ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಎಷ್ಟು?
ಚರ್ಚೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 4 ರಲ್ಲಿನಂತೆಯೇ ನಾವು ಅದೇ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ರೇಖೀಯತೆಯ ಆಸ್ತಿ. \( U = Q/2 \) ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಂತರ:
\[ E(U) = E\ಎಡ(\frac{Q}{2}\ಬಲ) \]
ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ರೇಖೀಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ:
\[ ಇ(ಯು) = \frac{1}{2} ಇ(ಕ್ಯೂ) \]
\( Q \) ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ \( Q \):
\[ ಇ(ಪ್ರ) = \mu = 40 \]
ಆದ್ದರಿಂದ,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ ಇ(ಯು) = 20 \]
ತೀರ್ಮಾನ
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿ (µ) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ರೇಖೀಯತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿವಿಧ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಊಹಾ ಪರೀಕ್ಷೆ, ನಿಯತಾಂಕ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತೀರ್ಮಾನಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯು ದತ್ತಾಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ.
ಈ ಲೇಖನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.
