ನಿರ್ಣಯ ಗುಣಾಂಕದ ಕುರಿತು ಚರ್ಚಾ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ನಿರ್ಣಯ ಗುಣಾಂಕದ ಕುರಿತು ಚರ್ಚಾ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಯ ಗುಣಾಂಕ (R²) ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದ್ದು, ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯು ದತ್ತಾಂಶದ ನಿಜವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ವಿವರವಾದ ಉದಾಹರಣೆ ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆಯ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯ ಗುಣಾಂಕದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕ ಅಥವಾ \( R^2 \) ಅನ್ನು 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ:

– \( R^2 = 0 \) ಎಂದರೆ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯು ದತ್ತಾಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
– \( R^2 = 1 \) ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯು ದತ್ತಾಂಶದ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲ ಸೂತ್ರವು:

\[ ಆರ್^2 = 1 – \frac{ಎಸ್ಎಸ್ಆರ್}{ಎಸ್ಎಸ್ಟಿ} \]

ಎಲ್ಲಿ:
– SSR (ವರ್ಗೀಕೃತ ಉಳಿಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ) ಮಾದರಿಯಿಂದ ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.
– SST (ವರ್ಗಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ) ಎಂದರೆ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸರಾಸರಿ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆ

ನಿರ್ಣಯ ಗುಣಾಂಕದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಆಳವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆ:

10 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯ (X) ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂಕಗಳು (Y) ಕುರಿತು ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ದತ್ತಾಂಶವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ:

| ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು | ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯ (X) | ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂಕಗಳು (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| ೧೦ | ೪ | ೭೮ |

ನಾವು ಸರಳವಾದ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯ (X) ಆಧರಿಸಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು (Y) ಊಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚರ್ಚೆ

1. ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು

ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

\[ Y = a + bX \]

ಎಲ್ಲಿ:
– \( Y \) ಎಂಬುದು ಊಹಿಸಲಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕವಾಗಿದೆ.
– \( X \) ಎಂಬುದು ಅಧ್ಯಯನದ ಗಂಟೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
– \( a \) ಎಂಬುದು ಇಂಟರ್ಸೆಪ್ಟ್ (X = 0 ಆದಾಗ Y ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಛೇದಕ ಬಿಂದು).
– \( b \) ಎಂಬುದು ಇಳಿಜಾರು (ರಿಗ್ರೆಷನ್ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು).

\( a \) ಮತ್ತು \( b \) ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

\[ b = \frac{n(\ಮೊತ್ತ{XY}) – (\ಮೊತ್ತ{X})(\ಮೊತ್ತ{Y})}{n(\ಮೊತ್ತ{X^2}) – (\ಮೊತ್ತ{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]

ಇಲ್ಲಿ \( n \) ಎಂಬುದು ದತ್ತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ n = 10).

ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು:
– \(\ಮೊತ್ತ{X} = 36\)
– \(\ಮೊತ್ತ{Y} = 704\)
– \(\ಮೊತ್ತ{X^2} = 140\)
– \(\ಮೊತ್ತ{Y^2} = 50428\)
– \(\ಮೊತ್ತ{XY} = 2576\)

ಮೊದಲು b ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ:

\[ ಬಿ = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ ಬಿ = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ ಬಿ = \frac{416}{104} \]
\[ ಬಿ = 4 \]

ನಂತರ, ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

\[ ಎ = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ ಎ = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ ಎ = \frac{560}{10} \]
\[ ಎ = 56 \]

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುವ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿ:

\[ ವೈ = 56 + 4X \]

2. ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (Y') ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಮುಂದೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿ \( X \) ಗೆ ಊಹಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು \( Y' \) ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

| ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು | ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯ (X) | ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂಕ (Y) | ಊಹಿಸಲಾದ ಅಂಕ (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| ೧೦ | ೪ | ೭೮ | \( ೫೬ + ೪(೪) = ​​೭೨ \) |

3. SSR ಮತ್ತು SST ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ

ಮುಂದೆ, ನಾವು \( R^2 \) ಪಡೆಯಲು SSR ಮತ್ತು SST ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

SSR:

\[ SSR = \ಮೊತ್ತ{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ ಎಸ್‌ಎಸ್‌ಆರ್ = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ ಎಸ್‌ಎಸ್‌ಆರ್ = 454 \]

ಎಸ್‌ಎಸ್‌ಟಿ:

\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
ಎಲ್ಲಿ:
\[ \ಬಾರ್{Y} = \frac{\ಮೊತ್ತ{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]

\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ ಎಸ್‌ಎಸ್‌ಟಿ = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ ಎಸ್‌ಎಸ್‌ಟಿ = 1107.44 \]

4. ನಿರ್ಣಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು \( R^2 \):

\[ ಆರ್^2 = 1 – \frac{ಎಸ್ಎಸ್ಆರ್}{ಎಸ್ಎಸ್ಟಿ} \]
\[ ಆರ್^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ ಆರ್^2 = 1 – 0.41 \]
\[ ಆರ್^2 = 0.59 \]

ತೀರ್ಮಾನ

ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ, ನಾವು ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (R2 = 0.59). ನಾವು ರಚಿಸಿದ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯು ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಸರಿಸುಮಾರು 59% ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ 41% ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸದ ಇತರ ಅಂಶಗಳಿಂದಾಗಿರಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಹಂತಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯು ದತ್ತಾಂಶದ ನಿಜವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಯದ ಗುಣಾಂಕದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಇದು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ದತ್ತಾಂಶ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ.