ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್, ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆ
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚರ್ಚಾಸ್ಪದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್, ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕಾರ್ಯಗಳಂತಹ ಪದಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮೂರು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಂತಹ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ.
ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್, ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಮೊದಲು, ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ.
1. ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ (ಒನ್-ಟು-ಒನ್ ಫಂಕ್ಷನ್): A ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ a1 ಮತ್ತು a2 ಗೆ f(a1) = f(a2) ಆಗಿದ್ದರೆ, a1 a2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದಾದರೆ, f : A → B ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, A ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕೋಡೊಮೇನ್ B ನಲ್ಲಿರುವ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.
2. ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ (ಕಾರ್ಯದ ಕಡೆಗೆ): ಕೋಡೊಮೈನ್ B ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಡೊಮೇನ್ A ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಅದಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೋಡೊಮೈನ್ B ಯಾವುದೇ "ಖಾಲಿ" ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಡೊಮೇನ್ A ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
3. ದ್ವಿವಿನ್ಯಾಸ ಕಾರ್ಯ (ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ): f : A → B ಎಂಬ ಕಾರ್ಯವು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎರಡೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ದ್ವಿವಿನ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಡೊಮೇನ್ A ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಕೋಡೋಮೈನ್ B ನಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೋಡೋಮೈನ್ B ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಡೊಮೇನ್ A ನಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆಗಳು
ಪ್ರಶ್ನೆ 1: ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಕಾರ್ಯ
ಪ್ರಶ್ನೆ:
f(x) = 2x + 3 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ f : ℝ → ℝ ಎಂಬ ಫಲನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲನವು ಒಂದು ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಚರ್ಚೆ:
ಈ ಕಾರ್ಯವು ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, f(a) = f(b) ಆಗಿದ್ದರೆ a = b ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು.
f(a) = f(b) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ನಾವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ:
\[ 2ಎ + 3 = 2ಬಿ + 3 \]
ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ 3 ಕಳೆಯಿರಿ:
\[ 2ಎ = 2ಬಿ \]
ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:
\[ ಎ = ಬಿ \]
f(a) = f(b) a = b ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಿರುವುದರಿಂದ, f(x) = 2x + 3 ಎಂಬ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಶ್ನೆ 2: ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್
ಪ್ರಶ್ನೆ:
g(x) = x^3 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ g : ℝ → ℝ ಎಂಬ ಫಲನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲನವು ಒಂದು ಸರ್ವೇಕ್ಷಣಾತ್ಮಕ ಫಲನ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಚರ್ಚೆ:
ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸಹ-ಡೊಮೇನ್ ℝ ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ y ಗೆ, ಡೊಮೇನ್ ℝ ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶ x ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ g(x) = y ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು.
y ∈ ℝ ಎಂದು ಬಿಡಿ. ನಾವು x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅಂದರೆ:
\[ x^3 = y \]
\( x = \sqrt[3]{y} \) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ:
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
ಸಹ-ಡೊಮೇನ್ ℝ ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ y ಗೆ ನಾವು x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅದು \( x = \sqrt[3]{y} \), ಆಗ g(x) = x^3 ಎಂಬ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಸರ್ವೇಕ್ಷಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಶ್ನೆ 3: ದ್ವಿವಿಧಾನ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಪ್ರಶ್ನೆ:
h(x) = x – 1 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ h : ℝ → ℝ ಎಂಬ ಫಲನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲನವು ದ್ವಿಭಾವಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಚರ್ಚೆ:
ಇಂಜೆಕ್ಷನ್:
h(x) ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, h(a) = h(b) ಆಗಿದ್ದರೆ a = b ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು.
h(a) = h(b) ಆಗಿರಲಿ:
\[ ಎ – 1 = ಬಿ – 1 \]
ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ 1 ಸೇರಿಸಿ:
\[ ಎ = ಬಿ \]
h(a) = h(b) a = b ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದರಿಂದ, h(x) = x – 1 ಎಂಬ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಸೂಚಿತ:
h(x) ಎಂಬುದು ಸರ್ವೇಕ್ಷಣೀಯ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸಹ-ಡೊಮೇನ್ ℝ ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ y ಗೆ, ಡೊಮೇನ್ ℝ ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶ x ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ h(x) = y ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು.
y ∈ ℝ ಎಂದು ಬಿಡಿ. ನಾವು x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅಂದರೆ:
\[ x – 1 = y \]
ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ 1 ಸೇರಿಸಿ:
\[ x = y + 1 \]
ಕೋಡೊಮೈನ್ ℝ ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ y ಗೆ ನಾವು x = y + 1 ನಂತಹ x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ನಂತರ h(x) = x – 1 ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ.
h(x) ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, h(x) ಒಂದು ದ್ವಿವಿಭಾಜಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಶ್ನೆ 4: ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಪ್ರಶ್ನೆ:
f(x) = 2x ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ f : ℕ → ℕ ಎಂಬ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. f ಒಂದು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್, ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಅಥವಾ ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
ಚರ್ಚೆ:
ಇಂಜೆಕ್ಷನ್:
ಈ ಕಾರ್ಯವು ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, f(a) = f(b) ಆಗಿದ್ದರೆ a = b ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.
f(a) = f(b) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ:
\[ 2ಎ = 2ಬಿ \]
ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:
\[ ಎ = ಬಿ \]
ಆದ್ದರಿಂದ, f(x) = 2x ಒಂದು ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಸೂಚಿತ:
ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸಹ-ಡೊಮೇನ್ ℕ ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶ y ಗೆ, ಡೊಮೇನ್ ℕ ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶ x ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ f(x) = y ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕು.
ಆದರೆ ಸಹ-ಡೊಮೇನ್ ℕ (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ f(x) = 2x ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ. y ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ℕ ನಲ್ಲಿ x ಇಲ್ಲ ಅಂದರೆ 2x = y.
ಆದ್ದರಿಂದ, f(x) = 2x ಒಂದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಲ್ಲ.
f(x) ಎಂಬುದು ನಿರ್ವಾಚಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, f(x) ಕೂಡ ದ್ವಿವಾಚಕವಲ್ಲ.
ಮೇಲಿನ ವಿವಿಧ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು (ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್, ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್, ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್) ಹೇಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗುರುತಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವು ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಜ ಜೀವನದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ.
