ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ: ಯಶಸ್ಸು ಮತ್ತು ವೈಫಲ್ಯ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಪ್ರಯೋಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆಗೆ ಹೋಗುವ ಮೊದಲು, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸೋಣ.

1. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು 'n' ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿನ ಯಶಸ್ಸಿನ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗವು ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಯಶಸ್ಸು (ಸಂಭವನೀಯತೆ p ಯೊಂದಿಗೆ) ಅಥವಾ ವೈಫಲ್ಯ (ಸಂಭವನೀಯತೆ q = 1 – p ಯೊಂದಿಗೆ).

2. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕಾರ್ಯ: ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕಾರ್ಯ:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
ಎಲ್ಲಿ:
– \( P(X = k) \) ಎಂಬುದು n ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ k ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
– \( \binom{n}{k} \) ಎಂಬುದು n ಟೇಕ್ k ನ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.
– \( p \) ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.
– \( (1-p) \) ಪ್ರತಿ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ.

3. ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ:
– ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ (ಸರಾಸರಿ) \( \mu = np \).
– ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು \( \sigma^2 = np(1-p) \).

ಈಗ, ಆಳವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 1: ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಮೂಲ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು

ಪ್ರಶ್ನೆ:
ಒಂದು ಕಂಪನಿಯು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಘಟಕವು ಗುಣಮಟ್ಟದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.95. 10 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ, ನಿಖರವಾಗಿ 8 ಘಟಕಗಳು ಗುಣಮಟ್ಟದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಚರ್ಚೆ :
ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮೊದಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ:
– \( n \) (ಒಟ್ಟು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) = 10
– \( k \) (ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಖ್ಯೆ) = 8
– \( p \) (ಯಶಸ್ಸಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ) = 0.95
– \( q \) (ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆ) = 1 – 0.95 = 0.05

ನಂತರ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ:
\[
P(X = 8) = \ಬಿನೋಮ್{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]

ಮೊದಲು, \( \binom{10}{8} \) ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]

ನಂತರ, ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ \( (0.95)^8 \) ಮತ್ತು \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \ಸುಮಾರು 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಆ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಪಡೆಯಿರಿ:
\[
P(X = 8) = 45 \times 0.6634 \times 0.0025 \ಸುಮಾರು 0.0744
\]

ಆದ್ದರಿಂದ, 10 ರಲ್ಲಿ 8 ಘಟಕಗಳು ಗುಣಮಟ್ಟದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸುಮಾರು 0.0744 ಅಥವಾ 7.44% ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 2: ಸಂಚಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ

ಪ್ರಶ್ನೆ:
ಇನ್ನೂ ಅದೇ ಕಂಪನಿಯಲ್ಲಿ, 10 ರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 9 ಘಟಕಗಳು ಗುಣಮಟ್ಟದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಚರ್ಚೆ :
ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ಸಂಚಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. 10 ರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 9 ಘಟಕಗಳು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದರೆ ನಾವು \( P(X \geq 9) \) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]

ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣಾ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:
\[
P(X = 9) = \ಬಿನೋಮ್{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]

ಮೊದಲು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೂ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\ಬಿನೋಮ್{10}{10} = 1
\]

ನಂತರ, \( P(X = 9) \) ಮತ್ತು \( P(X = 10) \): ಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.
\[
P(X = 9) = 10 \times (0.95)^9 \times 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \ಸುಮಾರು 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \times 0.6302 \times 0.05 \ಸುಮಾರು 0.3151
\]

\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} \ಸುಮಾರು 0.5987
\]
\[
ಪಿ(ಎಕ್ಸ್ = 10) = 0.5987
\]

\( P(X \geq 9) \): ಗೆ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆ.
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \ಸುಮಾರು 0.9138
\]

ಆದ್ದರಿಂದ, 10 ರಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ 9 ಘಟಕಗಳು ಗುಣಮಟ್ಟದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸುಮಾರು 0.9138 ಅಥವಾ 91.38% ಆಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 3: ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಪ್ರಶ್ನೆ:
0.95 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾದ 10 ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾದ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಚರ್ಚೆ :
ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:
– ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ (ಸರಾಸರಿ) \( \mu = np \)
– ವ್ಯತ್ಯಾಸ \( \sigma^2 = np(1-p) \)

\( n = 10 \) ಮತ್ತು \( p = 0.95 \):
\[
\mu = 10 \times 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುಣಮಟ್ಟದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗುವ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ 9.5 ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ 0.475 ಆಗಿದೆ.

ತೀರ್ಮಾನ

ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ, ವಿವಿಧ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ: ನಿಖರವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ, ಸಂಚಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಜ್ಞಾನವು ಉತ್ಪಾದನೆ, ವೈದ್ಯಕೀಯ ಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಂತಹ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು. ಒದಗಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆಗಳು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಿಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಆಶಿಸುತ್ತೇವೆ.