ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯೇತರ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು
ಪೆಂಗೆನಾಲನ್
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖವಾದದ್ದು. ಕಾರ್ಯಗಳು ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಹಳ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಲೇಖನವು ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯೇತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಆಳವಾದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಬೆಳೆಸಿಕೊಳ್ಳಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯೇತರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಡೊಮೇನ್ ಸೆಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಕೊಡೋಮೈನ್ ಸೆಟ್ನ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡೊಮೇನ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶಕ್ಕೂ, ಕೊಡೋಮೈನ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವಿರುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರುವ ಸಂಬಂಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
– ಸೆಟ್ A = {1, 2, 3}
– ಸೆಟ್ B = {4, 5, 6}
– ಸಂಬಂಧ R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
A ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು B ಗುಂಪಿನ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸಂಬಂಧ R ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಈ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಾನ್-ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶವಿದ್ದು ಅದು ಫಲಿತಾಂಶ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:
– ಸೆಟ್ C = {1, 2, 3}
– ಸೆಟ್ D = {4, 5, 6}
– ಸಂಬಂಧ S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}
C ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ '1' ಅಂಶವು D ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ (ಅಂದರೆ 4 ಮತ್ತು 5) ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸಂಬಂಧ S ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ.
ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಚರ್ಚೆ
ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯೇತರ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಆಳಗೊಳಿಸಲು, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚರ್ಚೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 1: ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
X = {a, b, c, d} ಮತ್ತು Y = {1, 2, 3, 4} ಸೆಟ್ ನೀಡಿದರೆ, ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ?
– ಆರ್ = {(ಎ, 1), (ಬಿ, 2), (ಸಿ, 3), (ಡಿ, 4)}
ಚರ್ಚೆ:
ಸೆಟ್ X ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
– 'a' ಅನ್ನು '1' ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ
– 'b' ಅನ್ನು '2' ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ
– 'c' ಅನ್ನು '3' ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ
– 'd' ಅನ್ನು '4' ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ
X ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು Y ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದೇ ಒಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, R ಸಂಬಂಧವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 2: ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯೇತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು
P = {u, v, w} ಮತ್ತು Q = {5, 6, 7} ಎಂಬ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ:
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}
ಚರ್ಚೆ:
P ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:
– 'u' '5' ಜೊತೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ
– 'v' ಅನ್ನು '6' ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ
– 'u' ಕೂಡ '7' ಜೊತೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ.
P ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ 'u' ಅಂಶವು Q ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, S ಸಂಬಂಧವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 3: ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದು
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧದ ಗ್ರಾಫ್ ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಗ್ರಾಫ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:
– (1, 2)
– (2, 4)
– (3, 6)
– (4, 8)
– (5, 10)
ಚರ್ಚೆ:
ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು (x, y) ರೂಪದ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು x ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅದರೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು y ಮೌಲ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಕೋಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಮಸ್ಯೆ 4: ಸಮೀಕರಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, y = x² ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
ಚರ್ಚೆ:
ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು x-ಮೌಲ್ಯವು ಒಂದೇ ಒಂದು y-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು x-ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:
– x = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, y = 1² = 1
– x = 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, y = 2² = 4
– x = -1 ಆಗಿದ್ದರೆ, y = (-1)² = 1
x ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, y ನ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಮೌಲ್ಯವಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, y = x² ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ಪ್ರಶ್ನೆ 5: ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳು
f(x) ಎಂಬುದು f ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ: x → x + 3. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಚರ್ಚೆ:
f: x → x + 3 ಆಗಿದ್ದರೆ, f(g(x)) = x ಮತ್ತು g(f(x)) = x ಆಗುವಂತೆ g ಎಂಬ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ:
– ವೈ = x + 3
ವಿಲೋಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು x ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:
– x = ವೈ – 3
ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವು g(y) = y – 3 ಆಗಿದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, f(x) = x + 3 ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮವು f⁻¹(x) = x – 3 ಆಗಿದೆ.
ತೀರ್ಮಾನ
ಮೇಲಿನ ಚರ್ಚೆಯಿಂದ, ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯೇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಡೊಮೇನ್ ಸೆಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಕೋಡೋಮೇನ್ ಸೆಟ್ನ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ಕಲಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಸಂಬಂಧದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಇತರ ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಡಿಪಾಯಗಳಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯೇತರ ವಿಷಯಗಳ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತರಾಗುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
