លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ដេរីវេ

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ដេរីវេ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែលវាស់ស្ទង់អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដេរីវេផ្តល់នូវការយល់ដឹងសំខាន់ៗអំពីឥរិយាបថ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ រួមទាំងទំនោរនៃតម្លៃអនុគមន៍ក្នុងការបង្កើន ឬបន្ថយ ចំណុចរបត់ និងព័ត៌មានសំខាន់ៗផ្សេងទៀត។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិភាក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងៗនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ និងការអនុវត្តរបស់វានៅក្នុងបរិបទផ្សេងៗ។

១. និយមន័យនៃដេរីវេ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f\) នៅចំណុច \(x\) គឺជាដែនកំណត់នៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអនុគមន៍ \(f\) ទាក់ទងទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ \(x\) នៅពេលដែលការផ្លាស់ប្តូរខិតជិតសូន្យ។ តាមគណិតវិទ្យា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ \(f\) នៅចំណុច \(x\) ដែលតាងជា \(f'(x)\) ឬ \(\frac{df}{dx}\) ត្រូវបានកំណត់ថា៖

\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x + h) – f(x)}{h} \]

ដេរីវេនេះពិពណ៌នាអំពីរបៀបដែលអនុគមន៍ \(f\) ផ្លាស់ប្តូរជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចនៅក្នុង \(x\)។

2. ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល

មានច្បាប់ជាមូលដ្ឋានមួយចំនួនដែលមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ខាងក្រោមនេះគឺជាច្បាប់មួយចំនួន៖

ក. ច្បាប់ថេរ

ប្រសិនបើ \(c\) ជាចំនួនថេរ នោះដេរីវេនៃ \(c\) គឺសូន្យ។

\[ \frac{d}{dx}[c] = 0 \]

ខ. ច្បាប់​អត្តសញ្ញាណ

ដេរីវេនៃ \(x\) គឺ 1។

\[ \frac{d}{dx}[x] = 1 \]

គ. ច្បាប់​ចំណាត់ថ្នាក់

ប្រសិនបើ \(n\) ជាចំនួនពិត នោះដេរីវេនៃ \(x^n\) គឺ៖

\[ \frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} \]

ឃ. អនុគមន៍​ដង​ច្បាប់​ថេរ

ប្រសិនបើ \(c\) ជាចំនួនថេរ នោះដេរីវេនៃ \(cf(x)\) គឺ៖

\[ \frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x) \]

ង. ច្បាប់បូក

ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ គឺជាផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នីមួយៗ។

\[ \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x) \]

ច. ច្បាប់គុណ

ដេរីវេនៃផលគុណនៃអនុគមន៍ពីរ \(f\) និង \(g\) ត្រូវបានផ្តល់ដោយ៖

\[ \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]

ឆ. ច្បាប់ចែកចាយ

ដេរីវេនៃការបែងចែកអនុគមន៍ពីរ \(f\) និង \(g\) ត្រូវបានផ្តល់ដោយ៖

\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g(x)^2} \]

ជ. ច្បាប់ខ្សែសង្វាក់

ប្រសិនបើអនុគមន៍ \(y\) ជាសមាសធាតុនៃអនុគមន៍ពីរ គឺ \(y = f(g(x))\) នោះដេរីវេរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ដោយច្បាប់ខ្សែសង្វាក់៖

\[ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

៣. លក្ខណៈសម្បត្តិដែលទទួលបាន

ក. និរន្តរភាព និង និរន្តរភាព

ប្រសិនបើអនុគមន៍ \(f\) មានដេរីវេនៅចំណុច \(a\) នោះអនុគមន៍ត្រូវតែបន្តនៅចំណុចនោះ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការបន្តនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយមិនធានាថាអនុគមន៍មានដេរីវេនៅចំណុចនោះទេ។ ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍តម្លៃដាច់ខាត \(f(x) = |x| \) គឺបន្តនៅ \(x = 0\) ប៉ុន្តែមិនមានដេរីវេនៅចំណុចនោះទេ។

ខ. ដេរីវេទីពីរ និងខ្ពស់ជាង

តាមរយៈការអនុវត្តឌីផេរ៉ង់ស្យែលម្តងហើយម្តងទៀត យើងអាចទទួលបានដេរីវេទីពីរ \( f”(x) \ ) ដេរីវេទីបី \( f”'(x) \ ) និងបន្តបន្ទាប់។ ដេរីវេទីពីរផ្តល់ព័ត៌មានអំពីប្រហោងនៃក្រាហ្វអនុគមន៍។ ប្រសិនបើដេរីវេទីពីរវិជ្ជមាន ក្រាហ្វអនុគមន៍នឹងប៉ោងឡើងលើ ហើយប្រសិនបើវាអវិជ្ជមាន ក្រាហ្វអនុគមន៍នឹងប៉ោងចុះក្រោម។

គ. ចំណុចសំខាន់

ចំណុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ \(f\) គឺជាចំណុចដែលដេរីវេទីមួយ \(f'(x)\) គឺសូន្យ ឬមិនមាន។ ចំណុចសំខាន់អាចជាចំណុចស្ថានី (ចំណុចអប្បបរមាក្នុងស្រុក ចំណុចអតិបរមាក្នុងស្រុក ឬចំណុចកែប)។ ការវិភាគបន្ថែមជាមួយនឹងដេរីវេទីពីរ ឬការធ្វើតេស្តដេរីវេទីមួយត្រូវបានប្រើដើម្បីចាត់ថ្នាក់ប្រភេទនៃចំណុចសំខាន់។

ឃ. អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃបាតុភូតមួយ។ ក្នុងរូបវិទ្យា ដេរីវេនៃទីតាំងទាក់ទងទៅនឹងពេលវេលាផ្តល់ល្បឿន ហើយដេរីវេនៃល្បឿនទាក់ទងទៅនឹងពេលវេលាផ្តល់ការបង្កើនល្បឿន។ ក្នុងសេដ្ឋកិច្ច ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថ្លៃដើមសរុបទាក់ទងទៅនឹងទិន្នផលផ្តល់ថ្លៃដើមរឹម។

ង. បង្កើន និងបន្ថយអនុគមន៍

ប្រសិនបើ \( f'(x) > 0 \) លើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះ \( f \) កើនឡើងជាលំដាប់លើចន្លោះពេលនោះ។ ផ្ទុយទៅវិញ ប្រសិនបើ \( f'(x) < 0 \) នោះ \( f \) ថយចុះជាលំដាប់លើចន្លោះពេលនោះ។ នេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការវិភាគអនុគមន៍ ដើម្បីកំណត់ឥរិយាបថរបស់អនុគមន៍លើចន្លោះពេលផ្សេងៗនៃដែនរបស់វា។ ៤. ការអនុវត្តដេរីវេក្នុងវិស័យផ្សេងៗ ក. សេដ្ឋកិច្ច ក្នុងសេដ្ឋកិច្ច ដេរីវេត្រូវបានប្រើដើម្បីវិភាគរឹម។ ឧទាហរណ៍ ថ្លៃដើមរឹម ដែលជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ថ្លៃដើមសរុបទាក់ទងនឹងបរិមាណផលិតកម្ម។ នេះជួយកំណត់ថ្លៃដើមបន្ថែមនៃការផលិតឯកតាបន្ថែមមួយនៃផលិតផល។

\[ \text{ថ្លៃដើមរឹម} = \frac{d}{dQ}[\text{ថ្លៃដើមសរុប}] \] ខ. វិស្វកម្ម ក្នុងវិស្វកម្ម ដេរីវេត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងប្រព័ន្ធរូបវន្ត ដូចជាល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿននៅក្នុងចលនាមេកានិច ឬការប្រែប្រួលសីតុណ្ហភាពនៅក្នុងដំណើរការកម្ដៅ។ គ. វិទ្យាសាស្ត្រទិន្នន័យ និងការរៀនម៉ាស៊ីន ក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រទិន្នន័យ និងការរៀនម៉ាស៊ីន ជម្រាល — ដែលជាវ៉ិចទ័រនៃដេរីវេដោយផ្នែក — ត្រូវបានប្រើក្នុងក្បួនដោះស្រាយបង្កើនប្រសិទ្ធភាពដើម្បីកាត់បន្ថយការខាតបង់ ឬមុខងារថ្លៃដើម។ ឧទាហរណ៍ ក្បួនដោះស្រាយចុះជម្រាល ពឹងផ្អែកលើដេរីវេកុំព្យូទ័រដើម្បីស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រល្អបំផុតនៅក្នុងគំរូរៀនម៉ាស៊ីន។ ឃ. រូបវិទ្យា ក្នុងរូបវិទ្យា ដេរីវេត្រូវបានប្រើដើម្បីពិពណ៌នាអំពីបាតុភូតធម្មជាតិផ្សេងៗ។ ឧទាហរណ៍ ច្បាប់ចលនារបស់ញូតុនប្រើដេរីវេដើម្បីកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងកម្លាំង ម៉ាស់ និងការបង្កើនល្បឿន។ \[ F = ma \quad \text{with} \quad a = \frac{dv}{dt} \] ង. ហិរញ្ញវត្ថុ ក្នុងហិរញ្ញវត្ថុ ដេរីវេត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់ភាពរសើបនៃតម្លៃជម្រើស ឬឧបករណ៍ហិរញ្ញវត្ថុផ្សេងទៀតចំពោះការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអថេរផ្សេងៗ ដែលគេស្គាល់ថាជា "ក្រិក"។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន និងទូលំទូលាយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែលមានការអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងស្ទើរតែគ្រប់វិស័យវិទ្យាសាស្ត្រ។ ចាប់ពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរហូតដល់ការអនុវត្តដ៏ស្មុគស្មាញក្នុងវិស្វកម្ម សេដ្ឋកិច្ច និងវិទ្យាសាស្ត្រទិន្នន័យ ការយល់ដឹងអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដេរីវេគឺមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ការវិភាគដ៏ទូលំទូលាយ និងការដោះស្រាយបញ្ហានៅទូទាំងមុខវិជ្ជាជាច្រើន។ ក្នុងនាមជាឧបករណ៍វិភាគ ដេរីវេអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើគំរូ ស្វែងយល់ និងបង្កើនប្រសិទ្ធភាពបាតុភូតស្មុគស្មាញក្នុងពិភពពិត។