ប្រតិបត្តិការលើចំនួនស្មុគស្មាញ
ចំនួនកុំផ្លិច គឺជាគោលគំនិតគណិតវិទ្យាដែលរួមបញ្ចូលគ្នានូវចំនួនពិត និងចំនួនស្រមើស្រមៃ។ ពួកវាជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃវិទ្យាសាស្ត្រជាច្រើន រួមទាំងរូបវិទ្យា វិស្វកម្ម និងគណិតវិទ្យាផងដែរ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងស្វែងយល់ពីប្រតិបត្តិការផ្សេងៗដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តលើចំនួនកុំផ្លិច រួមទាំងការបូក ការដក ការគុណ ការចែក និងច្រើនទៀត។
ការយល់ដឹងអំពីចំនួនស្មុគស្មាញ
ចំនួនកុំផ្លិចនីមួយៗអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ \(a+bi\) ដែល \(a\) និង \(b\) ជាចំនួនពិត ហើយ \(i\) ជាឯកតានិម្មិតដែលបំពេញ \(i^2 = -1\)។ ពាក្យ \(a\) ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិត ខណៈពេលដែល \(b\) គឺជាផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ឧទាហរណ៍ \(3 + 4i\) គឺជាចំនួនកុំផ្លិចដែលមានផ្នែកពិត 3 និងផ្នែកនិម្មិត 4។
ជាសមីការមូលដ្ឋាន យើងមាន៖
\[ i^2 = -1 \]
មានន័យថា \(i\) គឺជាឫសការ៉េនៃ -1។
ការបូក និងការដក
ការបូក និងការដកចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការបូក និងការដកផ្នែកពិត និងផ្នែកស្រមើស្រមៃរៀងៗខ្លួន។ ឧបមាថាយើងមានចំនួនកុំផ្លិចពីរ \( z_1 = a + bi \) និង \( z_2 = c + di \) នោះ៖
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
\[ z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i \\]
ទំនាក់ទំនង៖
សូមឱ្យ \(z_1 = 3 + 4i \) និង \(z_2 = 1 + 2i \) បន្ទាប់មក៖
\[ z_1 + z_2 = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i \]
\[ z_1 – z_2 = (3-1) + (4-2)i = 2 + 2i \\]
គុណ
ការគុណចំនួនកុំផ្លិចប្រើប្រភាគដូចនៅក្នុងពិជគណិត ប៉ុន្តែគិតគូរពី \( i^2 = -1 \)។ ឧបមាថា \( z_1 = a + bi \) និង \( z_2 = c + di \) នោះ៖
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd (-1) \\]
\[ = អាស៊ី + អាឌី + ប៊ីស៊ីអាយ – ប៊ីឌី \]
\[ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
ទំនាក់ទំនង៖
សូមឱ្យ \(z_1 = 3 + 4i \) និង \(z_2 = 1 + 2i \) បន្ទាប់មក៖
\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 + 2i) \]
\[ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 1 + 4i \cdot 2i \]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = ៣ + ១០i – ៨ \]
\[ = -៥ + ១០i \]
ការចែកចាយ
ការចែកចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការគុណភាគយក និងភាគបែងដោយចំនួនឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិច \( z = a + bi \)។ ចំនួនឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិច \( \overline{z} = a – bi \)។
ឧបមាថា \(z_1 = a + bi\) និង \(z_2 = c + di\) នោះ៖
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \]
គុណនឹងចំនួនរួមនៃភាគបែង៖
\[= \frac{(a + bi)(c–di)}{(c+di)(c–di)} \]
\[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
ទំនាក់ទំនង៖
សូមឱ្យ \(z_1 = 3 + 4i \) និង \(z_2 = 1 + 2i \) បន្ទាប់មក៖
ផ្សំ \( z_2 = 1 – 2i \)។
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[ = \frac{(3 + 4i)(1–2i)}{(1+2i)(1–2i)} \]
\[ = \frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
គេដឹងថា \(i^2 = -1\):
\[ = \frac{3– 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
\[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} – \frac{2i}{5} \\]
\[ = ២.២ – ០.៤i \]
ម៉ូឌុល និង អាគុយម៉ង់
ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចគឺជាចម្ងាយពីចំណុចដើមនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិចទៅចំណុចដែលតំណាងដោយចំនួនកុំផ្លិច។ ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច \(z = a + bi \) ត្រូវបានបង្ហាញជា \( |z| \) ហើយត្រូវបានគណនាដោយ៖
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
ទំនាក់ទំនង៖
ប្រសិនបើ \(z = 3 + 4i) នោះ៖
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចគឺជាមុំដែលចំនួនកុំផ្លិចបង្កើតជាមួយអ័ក្សពិតនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិច ហើយជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញជារ៉ាដ្យង់ ឬដឺក្រេ។
ទម្រង់ប៉ូល
ចំនួនកុំផ្លិចក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ប៉ូលផងដែរ។ ទម្រង់នេះជារឿយៗធ្វើឱ្យការគណនាដែលពាក់ព័ន្ធនឹងស្វ័យគុណ និងឫសនៃចំនួនកុំផ្លិចមានភាពសាមញ្ញ។ ចំនួនកុំផ្លិចអាចត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖
\[ z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\]
ដែល \(r\) ជាម៉ូឌុល និង \(\theta\) ជាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច។
ប្រតិបត្តិករស្មុគស្មាញផ្សេងទៀត៖ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត
ការបម្លែងចំនួនកុំផ្លិចទៅជាទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលអាចធ្វើបានដោយប្រើរូបមន្តរបស់អយល័រ៖
\[ z = re^{ i\theta} \]
ដែល \( e \) គឺជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ ហើយ \( \theta \) គឺជាអាគុយម៉ង់នៃ \( z \)។
និទស្សន្តនៃចំនួនកុំផ្លិចមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងប្រតិបត្តិការជាច្រើន ជាពិសេសនៅក្នុងការវិភាគហ្វូរីយ៉េ និងការបំលែងឡាប្លាស។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ចំនួនស្មុគស្មាញគឺជាឧបករណ៍មូលដ្ឋានមួយដែលមានប្រយោជន៍មិនគួរឲ្យជឿក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនប្រភេទក្នុងគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រ។ ការធ្វើជាម្ចាស់ប្រតិបត្តិការមូលដ្ឋានដូចជាការបូក ការដក ការគុណ និងការចែកគឺជាជំហានដំបូងដ៏សំខាន់។ លើសពីនេះ ការយល់ដឹងពីគោលគំនិតនៃម៉ូឌុល ការអាគុយម៉ង់ និងការបម្លែងទៅជាទម្រង់ប៉ូល និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលបង្កើនសមត្ថភាពរបស់យើងក្នុងការស្វែងយល់ពីការអនុវត្តនៃចំនួនស្មុគស្មាញក្នុងវិស័យជាច្រើនប្រភេទ។
តាមរយៈការយល់ដឹង និងការអនុវត្តចំនួនកុំផ្លិច យើងអាចដោះស្រាយបញ្ហាដែលអាចពិបាក ឬមិនអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើតែចំនួនពិតតែមួយមុខ។ ក្នុងនាមជាឧបករណ៍វិភាគដ៏មានឥទ្ធិពល ចំនួនកុំផ្លិចនៅតែជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃគណិតវិទ្យា និងការអនុវត្តវិទ្យាសាស្ត្ររហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ។
