តម្លៃដែលរំពឹងទុកនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀ

តម្លៃដែលរំពឹងទុកនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀ

ការចែកចាយប៊ីណូមៀល គឺជាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេដាច់ពីគ្នាដែលជួបប្រទះជាទូទៅបំផុតមួយនៅក្នុងស្ថិតិ និងប្រូបាប៊ីលីតេ។ ការចែកចាយនេះពិពណ៌នាអំពីចំនួននៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងស៊េរីនៃការសាកល្បងប៊ីណូមៀលឯករាជ្យ (ការសាកល្បងដែលមានលទ្ធផលតែពីរប៉ុណ្ណោះ៖ ជោគជ័យ ឬបរាជ័យ)។ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីការចែកចាយប៊ីណូមៀល វាជាការសំខាន់ក្នុងការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិតនៃតម្លៃដែលរំពឹងទុក ដែលពិពណ៌នាអំពីតម្លៃជាមធ្យមនៃការសាកល្បងដែលធ្វើម្តងទៀតក្នុងរយៈពេលវែង។ អត្ថបទនេះនឹងពិនិត្យឡើងវិញនូវគោលគំនិតនៃតម្លៃដែលរំពឹងទុកនៅក្នុងបរិបទនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀល។

និយមន័យនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀល

ការចែកចាយប៊ីណូមៀលកើតឡើងនៅក្នុងបរិបទដែលយើងធ្វើការសាកល្បងដូចគ្នាបេះបិទ និងឯករាជ្យមួយចំនួន ហើយការសាកល្បងនីមួយៗមានលទ្ធផលពីរដែលមិនរាប់បញ្ចូលគ្នាទៅវិញទៅមក ដែលជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា "ជោគជ័យ" និង "បរាជ័យ"។ ឧទាហរណ៍ ការបោះកាក់ (ក្បាល ឬកន្ទុយ) ការឆ្លើយសំណួរប្រឡង (ពិត ឬមិនពិត) ឬការសាកល្បងផ្នែកវេជ្ជសាស្ត្រ (ព្យាបាលបាន ឬមិនព្យាបាល)។

ការចែកចាយប៊ីណូមៀលត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រពីរ៖
– n, ចំនួននៃការសាកល្បង។
– p គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យលើការសាកល្បងនីមួយៗ។

ជាទូទៅ ប្រសិនបើ X ជាអថេរចៃដន្យដែលតំណាងឱ្យចំនួនជោគជ័យក្នុងការសាកល្បង n នោះ X ធ្វើតាមការចែកចាយប៊ីណូមៀលដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ n និង p ដែលតាងដោយ X ~ Binomial(n, p)។

អនុគមន៍ប្រូបាប៊ីលីតេ

អនុគមន៍ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀមានដូចខាងក្រោម៖
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
កន្លែងណា៖
– \( \binom{n}{k} \) គឺជាមេគុណប៊ីណូមៀ ដែលត្រូវបានគណនាជា \( \frac{n!}{k!(nk)!} \)។
-\(k\) គឺជាចំនួនជោគជ័យដែលចង់បាន។
–\(n\) គឺជាចំនួននៃការសាកល្បង។
–\( p\) គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យលើការសាកល្បងនីមួយៗ។
–\( (1-p)\) គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗ។

តម្លៃដែលរំពឹងទុក

តម្លៃរំពឹងទុក ឬមធ្យមភាគនៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជារង្វាស់មួយក្នុងចំណោមរង្វាស់សំខាន់បំផុតនៃទីតាំងកណ្តាល។ ចំពោះការចែកចាយប៊ីណូមៀល តម្លៃរំពឹងទុកនៃអថេរចៃដន្យ X ដែលធ្វើតាមប៊ីណូមៀល (n, p) គឺ៖
\[ E(X) = np \]

ភស្តុតាងនៃតម្លៃដែលរំពឹងទុក

ដើម្បីយល់ពីមូលហេតុដែលតម្លៃរំពឹងទុកនៃការចែកចាយប៊ីណូមាល់គឺ np យើងអាចប្រើលក្ខណសម្បត្តិលីនេអ៊ែរនៃតម្លៃរំពឹងទុក ហើយមើលពីរបៀបដែលអថេរប៊ីណូមាល់បូកបញ្ចូលគ្នាទៅនឹងការរួមចំណែករបស់វា។

ចូរយើងកំណត់ \(X\) ជាចំនួនជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងគោលពីរ n។ ជាពិសេស ចូរឲ្យ \(X_i\) ជាអថេរចៃដន្យដែលបង្ហាញពីលទ្ធផលនៃការសាកល្បងទី i ​​ដោយមាន \(X_i = 1\) ប្រសិនបើការសាកល្បងទី i ​​ទទួលបានជោគជ័យ និង \(X_i = 0\) ប្រសិនបើវាជាការបរាជ័យ។ បន្ទាប់មក យើងអាចសរសេរ \(X\) ដូចខាងក្រោម៖
\[ X = X_1 + X_2 + \dots + X_n \]

ដោយសារ \(X_i\) នីមួយៗជាអថេរគោលពីរដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ p តម្លៃដែលរំពឹងទុកនៃ \(X_i\) គឺ៖
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]

យើងអាចប្រើលក្ខណសម្បត្តិលីនេអ៊ែរនៃតម្លៃដែលរំពឹងទុកសម្រាប់តម្លៃដែលរំពឹងទុកនៃ X៖
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \dots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \dots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]

នេះបង្ហាញថាតម្លៃដែលរំពឹងទុកនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀលគឺ np។

ឧទាហរណ៍​បង្ហាញ

សូមពិចារណាករណីដែលយើងបោះកាក់ត្រឹមត្រូវចំនួន 10 ដង។ ចូរយើងសួរថាតម្លៃដែលរំពឹងទុកនៃចំនួនដងនៃការបោះដែលនាំឱ្យមានការភ្នាល់ក្បាលនឹងទៅជាយ៉ាងណា។

ក្នុងករណីនេះ៖
– n = 10 (ចំនួនដងនៃការបោះកាក់)
– p = 0.5 (ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានក្បាល ព្រោះកាក់នេះសម)

ដូច្នេះតម្លៃដែលរំពឹងទុកគឺ៖
\[ E(X) = np = 10 \គុណ 0.5 = 5 \]

នេះមានន័យថា ប្រសិនបើយើងបោះកាក់ម្តងហើយម្តងទៀតចំនួន 10 ដងក្នុងរយៈពេលវែង ជាមធ្យមយើងនឹងបានក្បាល 5 ដង។

ភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារ

បន្ថែមពីលើតម្លៃដែលរំពឹងទុក វាក៏សំខាន់ផងដែរក្នុងការយល់ដឹងអំពីភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀ។

ចំពោះការចែកចាយប៊ីណូមៀ ភាពខុសគ្នា \(\sigma^2\) និងគម្លាតស្តង់ដារ \(\sigma\) មានដូចខាងក្រោម៖
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]

វ៉ារ្យង់វាស់ស្ទង់ចម្ងាយដែលទិន្នន័យត្រូវបានរីករាលដាលចេញពីតម្លៃដែលរំពឹងទុក។ គម្លាតស្តង់ដារគឺជាឫសការ៉េនៃវ៉ារ្យង់ ហើយក៏វាស់ស្ទង់ការរីករាលដាលនៃទិន្នន័យផងដែរ ប៉ុន្តែនៅក្នុងឯកតាដូចគ្នានឹងទិន្នន័យដើម។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ការចែកចាយប៊ីណូមៀលគឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៅក្នុងស្ថិតិ និងប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលជួបប្រទះជាញឹកញាប់នៅក្នុងកម្មវិធីពិភពពិតផ្សេងៗ ចាប់ពីពាណិជ្ជកម្មរហូតដល់វិទ្យាសាស្ត្រសង្គម និងជីវវិទ្យា។ តម្លៃដែលរំពឹងទុកនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀល ដែលគណនាជា np ផ្តល់នូវការយល់ដឹងដ៏សំខាន់អំពីចំនួនមធ្យមនៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងស៊េរីនៃការសាកល្បងប៊ីណូមៀល។ តាមរយៈការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិតនៃតម្លៃដែលរំពឹងទុក ភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារ យើងអាចទទួលបានការយល់ដឹងកាន់តែច្បាស់អំពីលក្ខណៈនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀល និងរបៀបដែលវាពិពណ៌នាអំពីបាតុភូតជាក់លាក់ក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃ។

ចំណេះដឹងនេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់មិនត្រឹមតែក្នុងការវិភាគទិន្នន័យ និងស្ថិតិប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងក្នុងការសម្រេចចិត្តដែលទាមទារការវាយតម្លៃប្រូបាប៊ីលីតេ និងភាពមិនប្រាកដប្រជាផងដែរ។ ការយល់ដឹងអំពីតម្លៃដែលរំពឹងទុក និងការចែកចាយប៊ីណូមៀលអាចជួយយើងឱ្យធ្វើការព្យាករណ៍កាន់តែត្រឹមត្រូវ និងធ្វើការសម្រេចចិត្តកាន់តែមានព័ត៌មាន។