វិធីងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាប្រូបាប៊ីលីតេ

វិធីងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាប្រូបាប៊ីលីតេ

ប្រូបាប៊ីលីតេគឺជាប្រធានបទគណិតវិទ្យាដែលជួបប្រទះជាញឹកញាប់នៅក្នុងសាលារៀនដោយសារតែវានៅជិតជីវិតប្រចាំថ្ងៃ៖ ចាប់ពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃលេខលេចឡើងនៅលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ រហូតដល់ការគូរបាល់ពណ៌ពីប្រអប់ រហូតដល់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើងដោយផ្អែកលើទិន្នន័យ។ ជាអកុសល សិស្សជាច្រើនយល់ថាប្រូបាប៊ីលីតេ "ពិបាក" ពីព្រោះបញ្ហាហាក់ដូចជាសាមញ្ញ ប៉ុន្តែចម្លើយអាចខុសប្រសិនបើមិនបានពិចារណាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មានវិធីងាយស្រួល និងជាប្រព័ន្ធមួយដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាប្រូបាប៊ីលីតេ៖ យល់ពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន កំណត់ប្រភេទបញ្ហា ហើយបន្ទាប់មកជ្រើសរើសយុទ្ធសាស្ត្រត្រឹមត្រូវ។

អត្ថបទនេះនឹងពិភាក្សាអំពីជំហានជាក់ស្តែង ដើម្បីជួយអ្នកឱ្យលឿនជាងមុន និងត្រឹមត្រូវជាងមុន នៅពេលធ្វើការលើបញ្ហាប្រូបាប៊ីលីតេ។

-

១. យល់ពីគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃឱកាស

ជាទូទៅ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ∑(A) ត្រូវបានសរសេរជា៖

\[
P(A) = \frac{\text{ចំនួនលទ្ធផលដែលគាំទ្រ }A}{\text{ចំនួនលទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់}}
\]

គន្លឹះស្ថិតនៅក្នុងរឿងពីរយ៉ាង៖

១. លំហសំណាក (S)៖ លទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់ដែលអាចកើតឡើង។
២. ព្រឹត្តិការណ៍ (A)៖ ផ្នែកមួយនៃលំហសំណាកដែលត្រូវនឹងសំណួរដែលបានសួរ។

ប្រសិនបើលទ្ធផលទាំងអស់មានលទ្ធភាពស្មើគ្នា (ឧទាហរណ៍ គ្រាប់ឡុកឡាក់ត្រឹមត្រូវ កាក់ត្រឹមត្រូវ) នោះរូបមន្តខាងលើអាចត្រូវបានប្រើដោយផ្ទាល់។ ប្រសិនបើពួកវាមិនមានឱកាសស្មើគ្នាទេ ប្រូបាប៊ីលីតេជាធម្មតាត្រូវបានគណនាពីគំរូផ្សេងទៀត (ឧទាហរណ៍ ទិន្នន័យប្រេកង់ ឬប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ)។

-

២. ជំហានរហ័សដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាឱកាស

ដើម្បីជៀសវាងការវង្វេង សូមប្រើ "រូបមន្តដំណើរការ" ដូចខាងក្រោម៖

១. សរសេរអ្វីដែលត្រូវបានសួរ (តើព្រឹត្តិការណ៍អ្វីត្រូវបានសួរ?)
២. កំណត់លំហសំណាក (តើមានលទ្ធផលដែលអាចកើតមានប៉ុន្មាន?)
៣. គណនាលទ្ធផលដែលគាំទ្រព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានស្នើសុំ។
៤. ការចែករំលែកប្រាក់ចំណេញគាំទ្រដល់លទ្ធផលសរុប
៥. ធ្វើឱ្យប្រភាគសាមញ្ញ ហើយត្រូវប្រាកដថាវាឡូជីខល (ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវតែស្ថិតនៅចន្លោះ ០ និង ១)

កំហុសភាគច្រើនកើតឡើងដោយសារតែជំហានទី 2 និងទី 3 មិនត្រូវបានបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់លាស់។

-

៣. ប្រើតារាង ដ្យាក្រាមដើមឈើ ឬបញ្ជីប្រសិនបើចាំបាច់។

ចំពោះបញ្ហាដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការសាកល្បងពីរ ឬច្រើន (ឧទាហរណ៍ បោះកាក់ពីរដង ចាប់សន្លឹកបៀពីរដង) វិធីសាស្ត្រដែលមើលឃើញមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់។

ក) តារាង
ស័ក្តិសមសម្រាប់អថេរសាមញ្ញពីរ ឧទាហរណ៍ កាក់ និងគ្រាប់ឡុកឡាក់។

ខ) ដ្យាក្រាមដើមឈើ
ស័ក្តិសមសម្រាប់ការពិសោធន៍ជាជំហានៗ ជាពិសេសប្រសិនបើមានលក្ខខណ្ឌ "មិនអាចត្រឡប់វិញបាន" (ចំនួនវត្ថុផ្លាស់ប្តូរ)។

គ) បញ្ជីសមាជិកលំហគំរូ
សមស្របសម្រាប់កន្លែងគំរូតូចៗ។

វិធីនេះ អ្នកមិនចាំបាច់ទាយទេ។

-

៤. សំណួរប្រូបាប៊ីលីតេបុរាណ និងដំណោះស្រាយរហ័ស

ក. ឱកាសលើគ្រាប់ឡុកឡាក់
គ្រាប់ឡុកឡាក់មាន ៦ ជ្រុង៖ \(\{1,2,3,4,5,6\})

ឧទាហរណ៍៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានចំនួនគូ។

– លំហសំណាក \(S = 6\)
– ព្រឹត្តិការណ៍ \(A = \{2,4,6\}\) គឺ 3
– \(P(A) = 3/6 = 1/2\)

ល្បិចរហ័ស៖ តែងតែរាប់ "ចំនួនដងពេញ" ជំនួសឱ្យ "សរុប 6"។

-

ខ. ឱកាសលើកាក់មួយ
កាក់មួយមានពីរជ្រុង៖ ជ្រុង (A) និងជ្រុង (G)។

ឧទាហរណ៍៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានរូបភាពនៅពេលកាក់ត្រូវបានបោះ 1 ដង។
– សរុប ២
– ការគាំទ្រ ១
– ឱកាស \(=1/2\)

ប្រសិនបើបោះពីរដង៖
– លំហសំណាក៖ \(\{AA, AG, GA, GG\}\) សរុប ៤

គន្លឹះរហ័ស៖ សម្រាប់ការសាកល្បងឯករាជ្យ ប្រូបាប៊ីលីតេសរុបជាធម្មតាគឺ \(2^n\) (សម្រាប់កាក់) និង \(6^n\) (សម្រាប់គ្រាប់ឡុកឡាក់)។

-

គ. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការយកបាល់ចេញពីប្រអប់ (ដោយមាន និងគ្មានការជំនួស)

ឧទាហរណ៍ ប្រអប់មួយមានបាល់ពណ៌ក្រហមចំនួន 3 និងបាល់ពណ៌ខៀវចំនួន 2 (សរុបចំនួន 5)។

១) ជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ
យក 2 ដង រាល់ពេលដែលបាល់ត្រូវបានប្រគល់មកវិញ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការយកពណ៌ក្រហមបន្ទាប់មកពណ៌ខៀវ៖
– ឱកាស​នៃ​ការ​ឡើង​ក្រហម៖ \(3/5\)
– បន្ទាប់មកពណ៌ខៀវ (ដោយសារតែវាត្រូវបានប្រគល់មកវិញ វានៅតែមាន): \(2/5\)
– \(P = (៣/៥)(២/៥)=៦/២៥\)

២) គ្មានការប្រគល់ជូនវិញ
យក 2 ដងដោយមិនត្រលប់មកវិញ។ ឱកាសនៃពណ៌ក្រហមបន្ទាប់មកពណ៌ខៀវ៖
– ហាងឆេង​ក្រហម​ដំបូង៖ \(3/5\)
– បាល់ចំនួន ៤ ដែលនៅសល់ ពណ៌ខៀវដែលនៅសល់នៅតែជា ២ → ប្រូបាប៊ីលីតេពណ៌ខៀវទីពីរ៖ \(២/៤\)
– \(P = (3/5)(2/4)=6/20=3/10\)

ភាពខុសគ្នាសំខាន់៖ បើគ្មានការជំនួសទេ ភាគបែងនឹងផ្លាស់ប្តូរ ពីព្រោះចំនួនសរុបនៃបាល់ថយចុះ។

-

៥. ប្រើច្បាប់បូក និងច្បាប់បំពេញបន្ថែម

ក. ច្បាប់បូក (OR)
ប្រសិនបើត្រូវបានសួរអំពីហាងឆេង "A ឬ B" សូមប្រើ៖

\[
P(A \ ពែង B) = P(A) + P(B) – P(A \ ពែង B)
\]

– \(A \cup B\): A ឬ B (ឬទាំងពីរ)
– \(A \cap B\): A និង B ក្នុងពេលតែមួយ

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ៖ គ្រាប់ឡុកឡាក់ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានលេខគូ ឬពហុគុណនៃ 3។
– គូ៖ {២,៤,៦} → ៣
– ពហុគុណនៃ 3: {3,6} → 2
– ចំណិត (គូ និងពហុគុណនៃ 3): {6} → 1
– Peluang: \((3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6=2/3\)

ខ. បំពេញបន្ថែម (ផ្ទុយ)
ជារឿយៗវាងាយស្រួលក្នុងការរាប់ពាក្យថា "មិនបានកើតឡើង" ហើយបន្ទាប់មកដកវាចេញពី 1។

\[
P(A) = 1 – P(A^c)
\]

ឧទាហរណ៍៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃ "ក្បាល" លេចឡើងយ៉ាងហោចណាស់ម្តងនៅពេលដែលកាក់ត្រូវបានបោះ 3 ដង។
ជំនួស​ឲ្យ​ការ​រាប់ 1, 2, 3 ដង​នៃ​ចំនួន​មួយ សូម​រាប់​ចំនួន​បំពេញ​បន្ថែម​របស់​វា៖
– បំពេញបន្ថែម៖ គ្មានលេខទាល់តែសោះ = តួលេខទាំងអស់ (GGG)
– \(P(\text{GGG}) = (1/2)^3 = 1/8\)
– ដូច្នេះ \(P(\text{ចំនួនអប្បបរមា 1}) = 1 – 1/8 = 7/8\)

ល្បិចនេះមានប្រជាប្រិយភាពខ្លាំងណាស់សម្រាប់សំណួរ "យ៉ាងហោចណាស់មួយ", "យ៉ាងហោចណាស់មួយ", "តិចបំផុត"។

-

៦. ហាងឆេងតាមលក្ខខណ្ឌ៖ យកចិត្តទុកដាក់ចំពោះព័ត៌មានបន្ថែម

ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌមានន័យថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃ A ដរាបណា B បានកើតឡើងរួចហើយ៖

\[
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]

សំណួរប្រភេទនេះជាធម្មតាលេចឡើងនៅពេលដែលមានព័ត៌មានបន្ថែម ឧទាហរណ៍ "គេដឹងថាបាល់ពណ៌ក្រហមត្រូវបានចាប់ឆ្នោត" ឬ "គេដឹងថាសិស្សដែលត្រូវបានជ្រើសរើសគឺជាក្មេងស្រី"។

វិធីងាយស្រួល៖
១. ផ្តោតលើលក្ខខណ្ឌ B (សន្មតថាលំហសំណាករួមតូចមកត្រឹម B ប៉ុណ្ណោះ)
២. ក្នុងចំណោមអ្នកដែលបានជួប B សូមរាប់អ្នកដែលបានជួប A ដែរ។

-

៧. កំហុសទូទៅបំផុត

1. ភ្លេចផ្លាស់ប្តូរកន្លែងសំណាកនៅពេលគ្មានការជំនួស។
២. ការបកស្រាយខុសពាក្យ «ឬ» (ជួនកាលមានន័យថាទាំងពីរ)។
៣. មិន​ច្បាស់លាស់​ជាមួយ​ពាក្យ «អប្បបរមា» / «ភាគច្រើន» ទេ វាជាការប្រសើរ​ក្នុងការប្រើប្រាស់​ពាក្យ​បំពេញបន្ថែម។
៤. សន្មតថាព្រឹត្តិការណ៍មិនឯករាជ្យនៅពេលដែលពួកវាមិនឯករាជ្យ (បើគ្មានការត្រឡប់មកវិញទេ ពួកវាមិនឯករាជ្យទេ)។
៥. កុំធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ហើយកុំពិនិត្យមើលតក្កវិជ្ជា (លទ្ធផលប្រូបាប៊ីលីតេមិនត្រូវ >1)។

-

៨. អនុវត្តគន្លឹះដើម្បីក្លាយជាអ្នកជំនាញយ៉ាងឆាប់រហ័ស

– ស៊ាំនឹងការសរសេរ៖ \(S\), \(A\), សមាជិកជាច្រើន \(n(S)\), \(n(A)\)។
– អនុវត្ត​បញ្ហា “ពីរដំណាក់កាល” ជាមួយ​ដ្យាក្រាម​ដើមឈើ។
- អនុវត្តសំណួរ "យ៉ាងហោចណាស់មួយ" ជាមួយនឹងការបំពេញបន្ថែម។
– នៅពេលដែលអ្នកមានចម្លើយ សូមពិនិត្យមើល៖ តើវាសមហេតុផលទេ? ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ "ទំនងជាកើតឡើង" តម្លៃរបស់វាជាធម្មតាគឺជិតដល់ 1 មិនមែនជិតដល់ 0 ទេ។

-

Penutup

ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រូបាប៊ីលីតេគឺងាយស្រួលណាស់ ប្រសិនបើអ្នកប្រើជំហានជាប្រព័ន្ធជាប់លាប់៖ កំណត់លំហគំរូ កំណត់ព្រឹត្តិការណ៍ បន្ទាប់មកគណនាសមាមាត្រ។ ចំពោះបញ្ហាស្មុគស្មាញជាងនេះ សូមប្រើជំនួយមើលឃើញដូចជាតារាង ឬដ្យាក្រាមដើមឈើ ហើយប្រើប្រាស់ច្បាប់នៃការបូក ការគុណ និងការបំពេញបន្ថែម។ ជាមួយនឹងការអនុវត្តគ្រប់គ្រាន់ និងការអានបញ្ហាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ប្រូបាប៊ីលីតេនឹងលែងមានអារម្មណ៍ថា "ល្បិចកល" ទៀតហើយ ប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញ វាក្លាយជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលពិតជារីករាយ ពីព្រោះវានៅជិតព្រឹត្តិការណ៍ប្រចាំថ្ងៃ។

ប្រសិនបើអ្នកចង់ ខ្ញុំក៏អាចធ្វើឧទាហរណ៍ចំនួន 10 នៃសំណួរប្រូបាប៊ីលីតេ រួមជាមួយនឹងការពន្យល់របស់វា (ពីងាយស្រួលទៅពិបាក) ដូច្នេះអ្នកអាចអនុវត្តបានភ្លាមៗ។