មុខងារ និង មិនមែនមុខងារ

អនុគមន៍ និងមិនមែនអនុគមន៍៖ ការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិតក្នុងគណិតវិទ្យា

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា យើងតែងតែជួបប្រទះនឹងគោលគំនិតអរូបីដែលតម្រូវឱ្យមានការយល់ដឹងស៊ីជម្រៅ។ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន ប៉ុន្តែសំខាន់មួយគឺ "អនុគមន៍"។ គោលគំនិតនេះមិនត្រឹមតែលេចធ្លោនៅក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗដូចជា រូបវិទ្យា វិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ និងសេដ្ឋកិច្ចផងដែរ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការភាន់ច្រឡំច្រើនតែកើតឡើងនៅពេលបែងចែករវាងអនុគមន៍ និងអនុគមន៍មិនមែន។ អត្ថបទនេះនឹងពិភាក្សាស៊ីជម្រៅអំពីអ្វីទៅជាអនុគមន៍ លក្ខណៈរបស់វា និងរបៀបបែងចែកវាពីអនុគមន៍មិនមែន។

តើអនុគមន៍ជាអ្វី?

និយាយឱ្យសាមញ្ញ អនុគមន៍គឺជាទំនាក់ទំនងមួយដែលភ្ជាប់ធាតុនីមួយៗនៅក្នុងសំណុំមួយជាមួយនឹងធាតុមួយយ៉ាងពិតប្រាកដនៅក្នុងសំណុំមួយផ្សេងទៀត។ ចូរយើងពិនិត្យមើលនិយមន័យផ្លូវការរបស់វា៖

និយមន័យផ្លូវការនៃមុខងារ៖
អនុគមន៍ f ពីសំណុំ A ទៅសំណុំ B គឺជាច្បាប់មួយដែលភ្ជាប់ធាតុនីមួយៗនៅក្នុង A ជាមួយនឹងធាតុមួយយ៉ាងពិតប្រាកដនៅក្នុង B។ វាត្រូវបានសរសេរជា \( f : A \rightarrow B \)។

ម្យ៉ាង​ទៀត ប្រសិនបើយើងមានធាតុពីរផ្សេងគ្នានៅក្នុងសំណុំ A ពួកវាមិនត្រូវទាក់ទងនឹងធាតុដូចគ្នានៅក្នុងសំណុំ B ទេ។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយនៃអនុគមន៍គឺសីតុណ្ហភាពរាងកាយរបស់មនុស្ស (ដូមេន/សំណុំ A) និងការវាស់វែងរបស់វាជាអង្សាសេ (ជួរ/សំណុំ B)។ មនុស្សម្នាក់ៗត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងតម្លៃសីតុណ្ហភាពរាងកាយតែមួយ។ ដូច្នេះ នៅក្នុងភាពស្រដៀងគ្នានេះ អនុគមន៍នេះភ្ជាប់បុគ្គល (ធាតុដូមេន) ទៅនឹងតម្លៃសីតុណ្ហភាពរាងកាយ (ធាតុកូដូមេន)។

លក្ខណៈមុខងារ

ក្នុងការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិតនេះ មានលក្ខណៈជាក់លាក់មួយចំនួនដែលទំនាក់ទំនងមួយត្រូវតែបំពេញ ដើម្បីអាចចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍មួយ៖

១. ទំនាក់ទំនងរវាងសំណុំ៖
អនុគមន៍មួយត្រូវតែភ្ជាប់ធាតុនីមួយៗនៅក្នុងដែន (សំណុំប្រភព) ជាមួយនឹងធាតុមួយយ៉ាងពិតប្រាកដនៅក្នុងកូដូមេន (សំណុំគោលដៅ)។ ប្រសិនបើធាតុមួយនៅក្នុងដែនត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយធាតុច្រើនជាងមួយនៅក្នុងកូដូមេន នោះវាមិនមែនជាអនុគមន៍ទេ។

២. ភាពឯកវចនៈ
ធាតុមួយនៅក្នុងដែនអាចត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយតម្លៃតែមួយនៅក្នុងកូដូមេន។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ f(a) = 3 និង f(a) = 5 ក្នុងពេលតែមួយ នោះ f មិនមែនជាអនុគមន៍ទេ។

៣. ដែនមិនទទេ៖
នៅក្នុងអនុគមន៍មួយ ធាតុនីមួយៗនៅក្នុងដែនត្រូវតែមានសមភាគីនៅក្នុងកូដូមេន មានន័យថាដែនមិនអាចទទេបានទេ។

មិនមែនជាមុខងារទេ

ទំនាក់ទំនងដែលមិនបំពេញតាមលក្ខណៈទាំងបីខាងលើត្រូវបានគេហៅថា ទំនាក់ទំនងគ្មានមុខងារ។ ដើម្បីយល់បន្ថែមអំពីរឿងនេះ ចូរយើងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងមួយចំនួន។

១. ធាតុមួយនៅក្នុងដែនត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយធាតុច្រើនជាងមួយនៅក្នុងកូដូមេន៖
ឧទាហរណ៍ ស្រមៃថាយើងមានទំនាក់ទំនងមួយដែលសិស្ស (ដូមេន) ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងពិន្ទុប្រឡងរបស់ពួកគេ (កូដូមេន)។ ប្រសិនបើសិស្សអាចទទួលបានពិន្ទុច្រើនជាងមួយលើការប្រឡងតែមួយ (ឧទាហរណ៍ 75 និង 90 លើការប្រឡងដូចគ្នា) ទំនាក់ទំនងនេះមិនមែនជាអនុគមន៍ទេ។

២. មិនមែនធាតុដូមេនទាំងអស់សុទ្ធតែមានគូនោះទេ៖
ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ នៅក្នុងអនុគមន៍មួយ ធាតុទាំងអស់នៃដែនត្រូវតែមានសមភាគីនៅក្នុងកូដូមេន។ ប្រសិនបើធាតុណាមួយមិនមានសមភាគីទេ នោះទំនាក់ទំនងនោះមិនមែនជាអនុគមន៍ទេ។

ហេតុអ្វីបានជាការយល់ដឹងអំពីមុខងារមានសារៈសំខាន់?

ការយល់ដឹងស៊ីជម្រៅអំពីអនុគមន៍ទាំងនេះមិនត្រឹមតែមានសារៈសំខាន់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាសុទ្ធប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏សំខាន់ផងដែរនៅក្នុងការអនុវត្តក្នុងវិស័យផ្សេងៗជាច្រើនទៀត៖

១. វិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ៖
អនុគមន៍​គឺជា​មូលដ្ឋានគ្រឹះ​នៃការសរសេរកម្មវិធី ដែលជាឧបករណ៍ដែលយើងប្រើដើម្បីបង្កើតក្បួនដោះស្រាយដែលមានរចនាសម្ព័ន្ធ។ ការអនុវត្តអនុគមន៍អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរកូដដែលមានម៉ូឌុល និងងាយយល់ជាងមុន។

១. រូបវិទ្យា៖
ចំនួនថេរធម្មជាតិ និងច្បាប់រូបវន្តជាច្រើនត្រូវបានបង្ហាញជាអនុគមន៍។ ឧទាហរណ៍ ច្បាប់ត្រជាក់របស់ញូតុនអាចត្រូវបានបង្ហាញជាអនុគមន៍នៃសីតុណ្ហភាពទល់នឹងពេលវេលា។

៣. សេដ្ឋកិច្ច៖
អនុគមន៍ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងគំរូសេដ្ឋកិច្ច ដើម្បីព្យាករណ៍ទំនាក់ទំនងរវាងអថេរផ្សេងៗ ដូចជាចំណូល និងការប្រើប្រាស់។

ការតំណាងមុខងារ

មុខងារអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ផ្សេងៗគ្នា អាស្រ័យលើតម្រូវការ និងបរិបទ៖

១. តារាង៖
អនុគមន៍អាចត្រូវបានតំណាងដោយតារាងដែលបង្ហាញគូនៃធាតុដូមេន និងកូដូមេន។ ឧទាហរណ៍ តារាងដែលបង្ហាញសីតុណ្ហភាពប្រចាំថ្ងៃ (ដូមេន) និងចំនួនកោណការ៉េមដែលបានលក់ (កូដូមេន)។

២. ក្រាហ្វ៖
ក្រាហ្វអនុគមន៍គឺជាវិធីមួយក្នុងចំណោមវិធីដ៏មានប្រសិទ្ធភាពបំផុតក្នុងការតំណាងឱ្យអនុគមន៍។ នៅលើក្រាហ្វ ដែនត្រូវបានតាងជាញឹកញាប់ដោយអ័ក្ស x និងកូដូមេនដោយអ័ក្ស y។ អនុគមន៍គឺជាក្រាហ្វដែលឆ្លងកាត់ការធ្វើតេស្តបន្ទាត់បញ្ឈរ ពោលគឺបន្ទាត់បញ្ឈរនីមួយៗប្រសព្វនឹងក្រាហ្វនៅចំណុចមួយ។

៣. សមីការ៖
ទម្រង់ពិជគណិតនៃអនុគមន៍គឺជាវិធីទូទៅបំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យាដើម្បីបង្ហាញអនុគមន៍មួយ។ ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ \( f(x) = mx + c \) ឬអនុគមន៍ការ៉េ \( f(x) = ax^2 + bx + c \)។

ឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍ និងមិនមែនអនុគមន៍

ចូរយើងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនដើម្បីធ្វើឲ្យការយល់ដឹងរបស់យើងអំពីអនុគមន៍កាន់តែស៊ីជម្រៅ៖

ឧទាហរណ៍ទី 1:
– អនុគមន៍៖ យើងមានសំណុំ A = {1, 2, 3} និងសំណុំ B = {4, 5, 6}។ អនុគមន៍ \( f \) កំណត់ថា \( f(1) = 4 \), \( f(2) = 5 \), និង \( f(3) = 6 \)។
– មិនមែនជាអនុគមន៍ទេ៖ ប្រសិនបើ \( f \) កំណត់ថា \( f(1) = 4 \) និង \( f(1) = 5 \) ទំនាក់ទំនងនេះច្បាស់ជាមិនមែនជាអនុគមន៍ទេ ពីព្រោះធាតុមួយនៅក្នុងដែនត្រូវបានភ្ជាប់ទៅនឹងធាតុច្រើនជាងមួយនៅក្នុងកូដូមេន។

ឧទាហរណ៍ទី 2:
– អនុគមន៍៖ សិស្ស (ដូមេន) ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងពិន្ទុតេស្តរបស់ពួកគេ (កូដូមេន)។
– មិនមែនជាអនុគមន៍ទេ៖ សិស្សដូចគ្នាមិនអាចមានពិន្ទុពីរផ្សេងគ្នានៅក្នុងការប្រឡងតែមួយបានទេ។ ប្រសិនបើមានពិន្ទុពីរ នោះទំនាក់ទំនងនោះមិនមែនជាអនុគមន៍ទេ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ដោយវិនិច្ឆ័យពីការពន្យល់ខាងលើ យើងអាចមើលឃើញថា អនុគមន៍គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដែលរកឃើញការអនុវត្តជាច្រើននៅក្នុងវិញ្ញាសាផ្សេងៗ។ អនុគមន៍មួយភ្ជាប់ធាតុនីមួយៗនៅក្នុងសំណុំដូមេនជាមួយនឹងធាតុមួយយ៉ាងពិតប្រាកដនៅក្នុងសំណុំកូដូមេន។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងមួយមិនអាចបំពេញលក្ខណៈទាំងនេះបានទេ វាមិនមែនជាអនុគមន៍ទេ។ ការយល់ដឹងពីភាពខុសគ្នារវាងអនុគមន៍ និងអនុគមន៍មិនមែនអនុគមន៍ ផ្តល់នូវមូលដ្ឋានគ្រឹះរឹងមាំសម្រាប់ការសិក្សាគណិតវិទ្យាបន្ថែម និងការអនុវត្តជាក់ស្តែងក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃ។