រូបមន្ត និងឧទាហរណ៍នៃរំញ័រអាម៉ូនិក
រំញ័រអាម៉ូនិកគឺជាប្រធានបទសំខាន់មួយនៅក្នុងរូបវិទ្យា ដែលជារឿយៗលេចឡើងនៅក្នុងការពិភាក្សាអំពីចលនាតាមកាលកំណត់ រលក និងកម្មវិធីវិស្វកម្ម។ យើងអាចរកវាឃើញនៅក្នុងចលនារបស់ស្ព្រីង ប៉ោល (សម្រាប់មុំតូចៗ) និងសូម្បីតែរំញ័រនៃម៉ូលេគុលនៅក្នុងរូបធាតុ។ វាត្រូវបានគេហៅថា "អាម៉ូនិក" ពីព្រោះចលនារបស់វាធ្វើតាមលំនាំធម្មតា ហើយអាចត្រូវបានធ្វើគំរូជាមួយអនុគមន៍ស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុស។ អត្ថបទនេះពិភាក្សាអំពីនិយមន័យសង្ខេប រូបមន្តសំខាន់ៗ និងឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដើម្បីជួយយើងឱ្យយល់ពីគោលគំនិតនៃរំញ័រអាម៉ូនិក។
១. ការយល់ដឹងអំពីរំញ័រអាម៉ូនិក
រំញ័រ អាម៉ូនិកសាមញ្ញ (SHM) គឺជាចលនាទៅមករបស់វត្ថុមួយឆ្លងកាត់ចំណុចលំនឹង ជាមួយនឹងកម្លាំងស្តារឡើងវិញ ដែលទំហំរបស់វាសមាមាត្រទៅនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅ និងទិសដៅរបស់វាតែងតែឆ្ពោះទៅរកចំណុចលំនឹង។ តាមគណិតវិទ្យា លក្ខណៈរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖
F = −kx
សញ្ញាដកបង្ហាញថាទិសដៅនៃកម្លាំងគឺផ្ទុយពីទិសដៅនៃគម្លាត។ ប្រសិនបើវត្ថុត្រូវបានទាញទៅខាងស្តាំ (x វិជ្ជមាន) កម្លាំងស្តារឡើងវិញគឺនៅខាងឆ្វេង (អវិជ្ជមាន) និងច្រាសមកវិញ។
ប្រព័ន្ធពីរដែលត្រូវបានលើកឡើងជាញឹកញាប់ជាឧទាហរណ៍នៃ GHS គឺ៖
១. ប្រព័ន្ធស្ព្រីង-ម៉ាស (ម៉ាសនៅចុងបញ្ចប់នៃស្ព្រីង)។
២. ប៉ោលសាមញ្ញ (សម្រាប់មុំតូចៗ ជាធម្មតា < ១៥°)។
2. បរិមាណសំខាន់ៗនៅក្នុងរំញ័រអាម៉ូនិក
បរិមាណមួយចំនួនដែលតែងតែលេចឡើងនៅក្នុង GHS៖
– គម្លាត (x): ចម្ងាយរបស់វត្ថុពីចំណុចលំនឹង (m)។
– ទំហំ (A): គម្លាតអតិបរមា (m)។
- រយៈពេល (T): ពេលវេលាដែលត្រូវការសម្រាប់រំញ័រពេញលេញមួយ។
– ប្រេកង់ (f): ចំនួនរំញ័រក្នុងមួយវិនាទី (Hz)។
– ល្បឿនមុំ / ប្រេកង់មុំ (ω): ប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់មួយនៅក្នុងសមីការស៊ីនុស/កូស៊ីនុស (រ៉ាដ/វិនាទី)។
– ដំណាក់កាល (φ): កំណត់លក្ខខណ្ឌដំបូងនៃចលនា។
ទំនាក់ទំនងជាមូលដ្ឋានរវាងរយៈពេល និងភាពញឹកញាប់៖
f = 1/T
និងទំនាក់ទំនងរបស់ ω ជាមួយ T និង f៖
ω = 2πf = 2π/T
៣. សមីការរំញ័រអាម៉ូនិក
ទម្រង់ទូទៅនៃគម្លាតជាអនុគមន៍នៃពេលវេលាអាចត្រូវបានសរសេរថា៖
x(t) = ស៊ីនុស(ωt + φ)
ឬ
x(t) = A cos(ωt + φ)
ជម្រើសនៃ sin/cos គឺត្រឹមត្រូវដូចគ្នា អាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌដំបូង (ឧទាហរណ៍ នៅពេល t = 0 ទីតាំងស្ថិតនៅក្នុងទំហំ ឬនៅចំណុចលំនឹង)។
ល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿន
ល្បឿនគឺជាដេរីវេទីមួយនៃការផ្លាស់ទីលំនៅ៖
v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (ប្រសិនបើ x = A sin)
ឬវាក៏អាចមានតម្លៃអវិជ្ជមានយោងទៅតាមទម្រង់ដំបូង។
ការបង្កើនល្បឿនគឺជាដេរីវេទីពីរ៖
a(t) = d²x/dt² = −Aω² ស៊ីន(ωt + φ)
ដោយសារ x(t) = A sin(ωt + φ) នោះ៖
a(t) = −ω² x(t)
នេះជាលក្ខណៈពិសេសចម្បងរបស់ GHS៖ សន្ទុះគឺសមាមាត្រទៅនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅ និងទិសផ្ទុយគ្នា។
ល្បឿនអតិបរមា និងការបង្កើនល្បឿនអតិបរមា
– v_max = Aω
– a_max = Aω²
ល្បឿនអតិបរមាកើតឡើងនៅពេលដែលវត្ថុឆ្លងកាត់ចំណុចលំនឹង (x = 0)។ សន្ទុះអតិបរមាកើតឡើងនៅទំហំ (x = ±A)។
៤. រយៈពេលនៃរំញ័រនៅក្នុងស្ព្រីង និងប៉ោល
ក. រដូវផ្ការីក-ម៉ាស
សម្រាប់ស្ព្រីងដ៏ល្អមួយដែលមានថេរស្ព្រីង k និងម៉ាស់ m៖
T = 2π √(ម/គ)
ω = √(គីឡូ/ម៉ែត្រ)
នេះមានន័យថា ម៉ាស់កាន់តែធំ វដ្តរដូវកាន់តែធំ (យឺតជាង)។ k កាន់តែធំ (ស្ព្រីងរឹង) វដ្តរដូវកាន់តែតូច (លឿនជាង)។
ខ. ប៉ោលសាមញ្ញ (មុំតូច)
ចំពោះប៉ោលដែលមានប្រវែងខ្សែ L និងការបង្កើនល្បឿនទំនាញ g៖
T = 2π √(លីត្រ/ក្រាម)
ω = √(ក្រាម/លីត្រ)
គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់ នៅក្នុងវិធីសាស្ត្រមុំតូច រយៈពេលមិនអាស្រ័យលើម៉ាស់របស់ប៉ោលទេ គឺអាស្រ័យលើប្រវែង និងទំនាញផែនដីតែប៉ុណ្ណោះ។
៥. ថាមពលនៅក្នុងរំញ័រអាម៉ូនិក
នៅក្នុង GHS ថាមពលសរុបនៅតែថេរ (ប្រសិនបើមិនមានការកកិត)៖
- ថាមពលសក្តានុពលនៃនិទាឃរដូវ៖
Ep = ½ kx²
- ថាមពលចលនា៖
ឯក = ½ mv²
- ថាមពលមេកានិចសរុប៖
E = Ek + Ep = ½ kA²
នៅពេលដែល x = ±A, v = 0 ដូច្នេះថាមពលគឺជាសក្តានុពលទាំងស្រុង។ នៅពេលដែល x = 0, Ep = 0 ហើយថាមពលគឺជាចលនាទាំងស្រុង។
៣. ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សា
ឧទាហរណ៍ទី 1: ការកំណត់រយៈពេលនិទាឃរដូវ
ម៉ាស់ 0,5 គីឡូក្រាមត្រូវបានព្យួរនៅលើស្ព្រីងដែលមានថេរ k = 200 N/m។ ចូរកំណត់រយៈពេលនៃរំញ័រ!
ដែលបានផ្តល់ឱ្យ: m = 0,5 គីឡូក្រាម, k = 200 N/m
សួរ៖ ធ
ចម្លើយ៖
T = 2π √(ម/គ)
= 2π √(0,5 / 200)
= 2π √(0,0025)
= 2π (0,05)
= 0,1π វិនាទី
≈ 0,314 ស
ដូច្នេះរយៈពេលរំញ័ររបស់ស្ព្រីងគឺប្រហែល 0,314 វិនាទី។
-
ឧទាហរណ៍ទី 2: ការកំណត់ប្រេកង់ និង ω
ពីសំណួរទី 1 ចូរកំណត់ប្រេកង់ (f) និង ω!
ចម្លើយ៖
f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 Hz
ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 rad/s
(ឬដោយផ្ទាល់ ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 រ៉ាដ/វិនាទី)
ដូច្នេះប្រេកង់គឺប្រហែល 3,18 Hz និង ω = 20 rad/s។
-
ឧទាហរណ៍ទី 3: សមីការគម្លាត
វត្ថុមួយរំញ័រដោយសុខដុមរមនាជាមួយនឹងទំហំ 0,10 ម៉ែត្រ និង ω = 5 rad/s។ នៅ t = 0 វត្ថុនោះស្ថិតនៅក្នុងលំនឹង និងផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាន។ ចូរកំណត់សមីការផ្លាស់ទីលំនៅ!
បានផ្តល់ឱ្យ: A = 0,10 ម៉ែត្រ, ω = 5 រ៉ាដ/វិនាទី
លក្ខខណ្ឌដំបូង៖ t = 0 → x = 0 ហើយ v ដំបូងគឺវិជ្ជមាន។
ប្រសិនបើ x(0) = 0 ទម្រង់សមស្របគឺស៊ីនុស៖
x(t) = ស៊ីនុស(ωt)
ដោយសារ v(t) = Aω cos(ωt) នោះ v(0) = Aω cos(0) = Aω វិជ្ជមាន ទៅតាមនោះ។
ដូច្នេះ៖
x(t) = 0,10 ស៊ីន(5t) (ម៉ែត្រ)
-
ឧទាហរណ៍ទី 4: ល្បឿនអតិបរមា និងការបង្កើនល្បឿនអតិបរមា
ពីឧទាហរណ៍ទី 3 សូមកំណត់ v_max និង a_max។
ចម្លើយ៖
v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 m/s
a_max = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 m/s²
ដូច្នេះ v_max = 0,50 m/s និង a_max = 2,5 m/s²។
-
ឧទាហរណ៍ទី 5: ថាមពលនៅក្នុងនិទាឃរដូវ
ស្ព្រីងមួយដែលមានកម្លាំង k = 100 N/m ញ័រដោយមានទំហំ A = 0,20 ម៉ែត្រ។ គណនា ថាមពលមេកានិចសរុបរបស់វា!
ចម្លើយ៖
E = ½ kA²
= ½ (100)(0,20)²
= 50 × 0,04 ។
= 2 J
ថាមពលមេកានិចសរុបនៃរំញ័រគឺ 2 ជូល។
-
ឧទាហរណ៍ទី 6: រយៈពេលប៉ោល
ប៉ោលសាមញ្ញមួយមានប្រវែង 1 ម៉ែត្រ។ ប្រសិនបើ g = 10 m/s² ចូរកំណត់រយៈពេលរបស់វា។
ចម្លើយ៖
T = 2π √(លីត្រ/ក្រាម)
= 2π √(1/10)
= 2π √0,1
≈ 2π (0,316)
≈ 1,99 ស
ដូច្នេះ រយៈពេលនៃប៉ោលគឺប្រហែល 2,0 វិនាទី។
៧. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
លំយោលអាម៉ូនិកសាមញ្ញ គឺជាចលនាតាមកាលកំណត់ជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងរូបវិទ្យា។ គន្លឹះក្នុងការយល់ដឹងអំពីវាស្ថិតនៅក្នុងទំនាក់ទំនងរវាងកម្លាំងស្តារឡើងវិញ និងការផ្លាស់ទីលំនៅ (F = −kx) និងគំរូគណិតវិទ្យារបស់វា ដែលធ្វើតាមអនុគមន៍ស៊ីនុស/កូស៊ីនុស។ តាមរយៈការយល់ដឹងអំពីរូបមន្តសម្រាប់រយៈពេលនៃស្ព្រីង និងប៉ោល សមីការផ្លាស់ទីលំនៅ-ល្បឿន-សំទុះ និងគោលគំនិតនៃថាមពល អ្នកនឹងឃើញថាវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងរំញ័រ និងរលក។
ប្រសិនបើអ្នកចង់បាន ខ្ញុំអាចបន្ថែមសំណួរអនុវត្តបន្ថែម (ដោយមិនចាំបាច់ពិភាក្សាជាមុន) ឬបង្កើតរូបមន្តសង្ខេបដែលត្រៀមរួចជាស្រេចសម្រាប់ការប្រឡង។
