ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សាអំពីច្បាប់របស់ Gauss
ច្បាប់របស់ Gauss គឺជាសសរស្តម្ភសំខាន់នៃអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិច។ វាផ្តល់នូវវិធីដ៏មានប្រសិទ្ធភាពមួយដើម្បីគណនាដែនអគ្គិសនីដែលបង្កើតឡើងដោយការចែកចាយបន្ទុកអគ្គិសនី។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិភាក្សាអំពី បញ្ហាឧទាហរណ៍មួយចំនួន និងពិភាក្សាអំពីការអនុវត្ត ច្បាប់របស់ Gauss ក្នុងសេណារីយ៉ូផ្សេងៗ។
គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃ ច្បាប់របស់ Gauss
មុននឹងយើងចាប់ផ្តើមជាមួយឧទាហរណ៍នៃបញ្ហា ចូរយើងពិនិត្យមើលគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃច្បាប់របស់ Gauss។ ច្បាប់របស់ Gauss ចែងថា លំហូរអគ្គិសនីសរុប \(\Phi_E\) ដែលចេញពីផ្ទៃបិទជិតគឺសមាមាត្រទៅនឹងបន្ទុកសរុប \(q_{in}\) ដែលរុំព័ទ្ធដោយផ្ទៃ។ តាមគណិតវិទ្យា ច្បាប់របស់ Gauss ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖
\[ \Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]
កន្លែងណា៖
–\(\Phi_E\) គឺជាលំហូរអគ្គិសនី។
–\(\mathbf{E}\) គឺជាដែនអគ្គិសនី។
–\(\mathbf{A}\) គឺជាវ៉ិចទ័រផ្ទៃ។
–\( q_{in} \) គឺជាបន្ទុកនៅខាងក្នុងផ្ទៃបិទជិត។
– \( \epsilon_0 \) គឺជាអតិបរិមាភាពក្នុងសុញ្ញាកាស (\( \epsilon_0 \approx 8.85 \x10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \))។
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1: ដែនអគ្គិសនីនៅក្នុង ស្វ៊ែរដែលមានខ្សែចរន្ត ប្រហោង
សំណួរ៖
អ្នកមានស្វ៊ែរដែលដឹកនាំចរន្តប្រហោងមួយដែលមានកាំខាងក្រៅ \(R\) និងបន្ទុកសរុប \(Q\)។ ចូរកំណត់ដែនអគ្គិសនីនៅខាងក្នុងចរន្តប្រហោង។
ប៉េបាហាសាន៖
– ការកំណត់ផ្ទៃ Gaussian៖
ឧបមាថាយើងជ្រើសរើសផ្ទៃហ្គោសៀនស្វ៊ែររាងជារង្វង់ដែលមានកាំ \( r \) នៅខាងក្នុងប្រហោងចរន្ត (ដែល \( r < R \))។
– ការគណនាលំហូរ និងបន្ទុក៖
ដោយសារផ្នែកខាងក្នុងនៃស្វ៊ែរដែលដឹកនាំចរន្តគឺជាប្រហោងទទេ បន្ទុកនៅខាងក្នុងផ្ទៃហ្គោសៀនគឺសូន្យ (\( q_{in} = 0 \))។
- ការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss៖
យោងតាមច្បាប់របស់ Gauss៖
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
ដោយសារ \( q_{in} = 0\) នោះលំហូរអគ្គិសនីក៏ស្មើនឹងសូន្យដែរ៖
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = 0
\]
- សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖
ដោយសារលំហូរអគ្គិសនីគឺសូន្យ វាមានន័យថាដែនអគ្គិសនី \(\mathbf{E}\) នៅគ្រប់ចំណុចនៅខាងក្នុងប្រហោងក៏ស្មើនឹងសូន្យដែរ។
ដូច្នេះ ដែនអគ្គិសនីនៅខាងក្នុងប្រហោងចរន្តគឺ \( 0 \, \text{N/C} \)។
ឧទាហរណ៍ទី 2: ដែនអគ្គិសនីដោយបន្ទះគ្មានកំណត់
សំណួរ៖
គណនាដែនអគ្គិសនីនៅជិតបន្ទះលោហៈគ្មានកំណត់ ដែលមានដង់ស៊ីតេបន្ទុកលើផ្ទៃ \(\sigma\)។
ប៉េបាហាសាន៖
– ការកំណត់ផ្ទៃ Gaussian៖
ជ្រើសរើសផ្ទៃ Gaussian រាងស៊ីឡាំង “Gaussian pillbox” ដែលមានផ្ទៃខាងលើ និងខាងក្រោមបន្ទះ ដែលផ្ទៃនីមួយៗមានក្រឡាផ្ទៃ \(A\)។
– ការគណនាលំហូរ និងបន្ទុក៖
លំហូរអគ្គិសនីសរុបចេញពីចុងទាំងពីរនៃផ្ទៃគឺ៖
\[
\Phi_E = 2EA
\]
ដែល \( E \) ជាដែនអគ្គិសនីនៅសងខាងនៃបន្ទះ។ បន្ទុកសរុប \( q_{in} \) ដែលរុំព័ទ្ធដោយផ្ទៃ Gaussian គឺ៖
\[
q_{in} = \sigma \cdot A
\]
- ការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss៖
យោងតាមច្បាប់របស់ Gauss៖
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
ដូច្នេះ៖
\[
2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0}
\]
ដោយធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
\[
E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}
\]
- សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖
ដែនអគ្គិសនីនៅជិតបន្ទះដែកគ្មានកំណត់គឺ៖
\[
E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \, \text{(N/C)}
\]
ឧទាហរណ៍ទី 3: ដែនអគ្គិសនីជុំវិញចំណុចបន្ទុក
សំណួរ៖
គណនាដែនអគ្គិសនីនៅចម្ងាយ \(r\) ពីចំណុចបន្ទុក \(q\)។
ប៉េបាហាសាន៖
– ការកំណត់ផ្ទៃ Gaussian៖
ជ្រើសរើសផ្ទៃហ្គោសៀនស្វ៊ែរដែលមានកាំ \( r \) នៃបន្ទុកចំណុច \( q \)។
– ការគណនាលំហូរ និងបន្ទុក៖
លំហូរអគ្គិសនីសរុបដែលចាកចេញពីផ្ទៃ Gaussian គឺ៖
\[
\Phi_E = E \cdot 4\pi r^2
\]
បន្ទុកសរុប \(q_{in}\) ដែលរុំព័ទ្ធដោយផ្ទៃ Gaussian គឺជាបន្ទុកចំណុច \(q\)។
- ការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss៖
យោងតាមច្បាប់របស់ Gauss៖
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
ដូច្នេះ៖
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0}
\]
ដោយធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
- សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖
ដែនអគ្គិសនីនៅចម្ងាយ \(r\) ពីចំណុចបន្ទុក \(q\) គឺ៖
\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \, \text{(N/C)}
\]
ឧទាហរណ៍ទី 4: ដែនអគ្គិសនីនៅខាងក្នុង និងខាងក្រៅស្វ៊ែរដែលមានបន្ទុកឯកសណ្ឋាន
សំណួរ៖
ស្វ៊ែររឹងដែលមានកាំ \(R\) មានបន្ទុកសរុប \(Q\) ចែកចាយស្មើៗគ្នា។ គណនាដែនអគ្គិសនីនៅចំណុចមួយនៅខាងក្នុងស្វ៊ែរ (\(r < R\)) និងនៅខាងក្រៅស្វ៊ែរ (\(r > R\))។
ប៉េបាហាសាន៖
សម្រាប់ \( r < R \):
– ការកំណត់ផ្ទៃ Gaussian៖
ជ្រើសរើសផ្ទៃ Gaussian ស្វ៊ែរដែលមានកាំ \( r \) នៅខាងក្នុងស្វ៊ែររឹង។
- ការគណនាបន្ទុក៖
ដោយសារបន្ទុកត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នា បន្ទុកក្នុងកាំ \(r\) គឺ៖
\[
q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3
\]
ដែល \( \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \)។
\[
q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)
\]
- ការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss៖
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
ដូច្នេះ៖
\[
E \\ cdot 4\pi r^2 = \frac{Q \\ left(\frac{r^3}{R^3}\right)}{\epsilon_0}
\]
ដោយធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
\[
E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3}
\]
ដូច្នេះ ដែនអគ្គិសនីនៅក្នុងស្វ៊ែរ (r < R \)) គឺ៖ \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] សម្រាប់ \( r > R \):
– ការកំណត់ផ្ទៃ Gaussian៖
ជ្រើសរើសផ្ទៃ Gaussian ស្វ៊ែរដែលមានកាំ \( r \) នៅខាងក្រៅស្វ៊ែររឹង។
- ការគណនាបន្ទុក៖
បន្ទុកសរុបនៅលើផ្ទៃ Gaussian គឺជាបន្ទុកសរុបនៃស្វ៊ែរ \(Q\)។
- ការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss៖
\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]
ដូច្នេះ៖
\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]
ដោយធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
ដូច្នេះ ដែនអគ្គិសនីនៅខាងក្រៅស្វ៊ែរ (r > R\)) គឺ៖
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ច្បាប់របស់ Gauss ផ្តល់នូវឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលមួយសម្រាប់វិភាគដែនអគ្គិសនីក្នុងស្ថានភាពជាច្រើនប្រភេទ។ តាមរយៈការជ្រើសរើសផ្ទៃ Gaussian ដែលសមស្រប និងការអនុវត្តគោលការណ៍ជាមូលដ្ឋានរបស់វា យើងអាចគណនា ការចែកចាយដែនអគ្គិសនី បានកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាព។ តាមរយៈឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងបានឃើញ ការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss ក្នុងស្ថានភាពដូចជាដែនអគ្គិសនីនៅក្នុងស្វ៊ែរដែលដឹកនាំចរន្ត បន្ទះដែកគ្មានកំណត់ បន្ទុកចំណុច និងស្វ៊ែរដែលមានបន្ទុកឯកសណ្ឋាន។ ការយល់ដឹង និងការអនុវត្តជាប់លាប់នឹងធានាបាននូវការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss ដ៏រឹងមាំនៅក្នុងកម្មវិធីអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិចផ្សេងៗ។
