ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សាអំពីច្បាប់របស់ Gauss

ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សាអំពីច្បាប់របស់ Gauss

ច្បាប់របស់ Gauss គឺជាសសរស្តម្ភសំខាន់នៃអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិច។ វាផ្តល់នូវវិធីដ៏មានប្រសិទ្ធភាពមួយដើម្បីគណនាដែនអគ្គិសនីដែលបង្កើតឡើងដោយការចែកចាយបន្ទុកអគ្គិសនី។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិភាក្សាអំពីបញ្ហាឧទាហរណ៍មួយចំនួន និងពិភាក្សាអំពីការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss ក្នុងសេណារីយ៉ូផ្សេងៗ។

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃច្បាប់របស់ Gauss

មុននឹងយើងចាប់ផ្តើមជាមួយឧទាហរណ៍នៃបញ្ហា ចូរយើងពិនិត្យមើលគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃច្បាប់របស់ Gauss។ ច្បាប់របស់ Gauss ចែងថា លំហូរអគ្គិសនីសរុប \(\Phi_E\) ដែលចេញពីផ្ទៃបិទជិតគឺសមាមាត្រទៅនឹងបន្ទុកសរុប \(q_{in}\) ដែលរុំព័ទ្ធដោយផ្ទៃ។ តាមគណិតវិទ្យា ច្បាប់របស់ Gauss ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖

\[ \Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]

កន្លែងណា៖

–\(\Phi_E\) គឺជាលំហូរអគ្គិសនី។
–\(\mathbf{E}\) គឺជាដែនអគ្គិសនី។
–\(\mathbf{A}\) គឺជាវ៉ិចទ័រផ្ទៃ។
–\( q_{in} \) គឺជាបន្ទុកនៅខាងក្នុងផ្ទៃបិទជិត។
– \( \epsilon_0 \) គឺជា​អតិបរិមា​ភាព​ក្នុង​សុញ្ញាកាស (\( \epsilon_0 \approx 8.85 \x10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \))។

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1: ដែនអគ្គិសនីនៅក្នុងស្វ៊ែរដែលមានខ្សែចរន្តប្រហោង

សំណួរ៖
អ្នកមានស្វ៊ែរដែលដឹកនាំចរន្តប្រហោងមួយដែលមានកាំខាងក្រៅ \(R\) និងបន្ទុកសរុប \(Q\)។ ចូរកំណត់ដែនអគ្គិសនីនៅខាងក្នុងចរន្តប្រហោង។

ប៉េបាហាសាន៖
– ការកំណត់ផ្ទៃ Gaussian៖
សន្មតថាយើងជ្រើសរើសផ្ទៃហ្គោសៀនស្វ៊ែរដែលមានចំណុចប្រសព្វគ្នាដែលមានកាំ \( r \) នៅខាងក្នុងប្រហោងចរន្តអគ្គិសនី (ដែល \( r < R \))។ - ការគណនាលំហូរ និងបន្ទុក៖ ដោយសារផ្នែកខាងក្នុងនៃស្វ៊ែរចរន្តអគ្គិសនីគឺជាប្រហោងទទេ បន្ទុកនៅខាងក្នុងផ្ទៃហ្គោសៀនគឺសូន្យ (\( q_{in} = 0 \))។ - ការអនុវត្តច្បាប់ហ្គោសៀន៖ យោងតាមច្បាប់ហ្គោសៀន៖ \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]

ដោយសារ \( q_{in} = 0 \) នោះលំហូរអគ្គិសនីក៏ស្មើនឹងសូន្យដែរ៖ \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = 0 \] - សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដោយសារលំហូរអគ្គិសនីស្មើនឹងសូន្យ វាមានន័យថាដែនអគ្គិសនី \( \mathbf{E} \) នៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងប្រហោងក៏ស្មើនឹងសូន្យដែរ។ ដូច្នេះ ដែនអគ្គិសនីនៅខាងក្នុងប្រហោងដឹកនាំគឺ \( 0 \, \text{N/C} \)។ ឧទាហរណ៍បញ្ហាទី 2៖ ដែនអគ្គិសនីដោយបន្ទះគ្មានកំណត់ បញ្ហា៖ គណនាដែនអគ្គិសនីនៅជិតបន្ទះដែកគ្មានកំណត់ដែលមានដង់ស៊ីតេបន្ទុកផ្ទៃ \( \sigma \)។ ដំណោះស្រាយ៖ - ការកំណត់ផ្ទៃហ្គោសៀន៖ ជ្រើសរើសផ្ទៃហ្គោសៀនរាងស៊ីឡាំង "ប្រអប់ថ្នាំគ្រាប់ហ្គោសៀន" ដែលមានផ្ទៃខាងលើ និងខាងក្រោមបន្ទះ ដែលផ្ទៃនីមួយៗមានផ្ទៃ \( A \)។ - ការគណនាលំហូរ និងបន្ទុក៖ លំហូរអគ្គិសនីសរុបចេញពីចុងទាំងពីរនៃផ្ទៃគឺ៖ \[ \Phi_E = 2EA \] ដែល \( E \) ជាដែនអគ្គិសនីនៅសងខាងនៃបន្ទះ។ បន្ទុកសរុប \( q_{in} \) ដែលរុំព័ទ្ធដោយផ្ទៃ Gaussian គឺ៖ \[ q_{in} = \sigma \cdot A \] - ការអនុវត្តច្បាប់ Gauss៖ យោងតាមច្បាប់ Gauss៖ \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] ដូច្នេះ៖ \[ 2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0} \] ដោយការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖ \[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \] - សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដែនអគ្គិសនីនៅជិតបន្ទះដែកគ្មានកំណត់គឺ៖ \[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \, \text{(N/C)} \] ឧទាហរណ៍បញ្ហាទី 3៖ ដែនអគ្គិសនីជុំវិញចំណុចបន្ទុក បញ្ហា៖ គណនាចរន្តអគ្គិសនីនៃដែនអគ្គិសនីនៅចម្ងាយ \( r \) ពីចំណុចបន្ទុក \( q \)។ ការពិភាក្សា៖ - ការកំណត់ផ្ទៃហ្គោសៀន៖ ជ្រើសរើសផ្ទៃហ្គោសៀនរាងស្វ៊ែរដែលមានកាំ \(r\) ពីចំណុចបន្ទុក \(q\)។ - ការគណនាលំហូរ និងបន្ទុក៖ លំហូរអគ្គិសនីសរុបដែលចេញពីផ្ទៃហ្គោសៀនគឺ៖ \[ \Phi_E = E\cdot 4\pi r^2\] បន្ទុកសរុប \(q_{in}\) ដែលរុំព័ទ្ធដោយផ្ទៃហ្គោសៀនគឺជាចំណុចបន្ទុក \(q\)។ - ការអនុវត្តច្បាប់ Gauss៖ យោងតាមច្បាប់ Gauss៖ \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] ដូច្នេះ៖ \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0} \] ដោយការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖ \[ E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \] - សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដែនអគ្គិសនីនៅចម្ងាយ \( r \) ពីចំណុចបន្ទុក \( q \) គឺ៖ \[ E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \, \text{(N/C)} \] ឧទាហរណ៍សំណួរទី 4៖ ដែនអគ្គិសនីនៅខាងក្នុង និងខាងក្រៅស្វ៊ែរដែលមានបន្ទុកឯកសណ្ឋាន សំណួរ៖ ស្វ៊ែររឹងដែលមានកាំ \( R \) មានបន្ទុកសរុប \( Q \) ដែលត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នា។ គណនាដែនអគ្គិសនីនៅចំណុចមួយនៅខាងក្នុងស្វ៊ែរ (r < R \)) និងនៅខាងក្រៅស្វ៊ែរ (r > R \))។

ប៉េបាហាសាន៖

សម្រាប់ \( r < R \): - ការកំណត់ផ្ទៃហ្គោសៀន៖ ជ្រើសរើសផ្ទៃហ្គោសៀនស្វ៊ែរដែលមានកាំ \( r \) នៅខាងក្នុងស្វ៊ែររឹង។ - ការគណនាបន្ទុក៖ ដោយសារបន្ទុកត្រូវបានចែកចាយស្មើៗគ្នា បន្ទុកក្នុងកាំ \( r \) គឺ៖ \[ q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \] ដែល \( \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \). \[ q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right) \] - ការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss៖ \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] ដូច្នេះ៖ \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)}{\epsilon_0} \] ដោយការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖ \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] ដូច្នេះ ដែនអគ្គិសនីនៅខាងក្នុងស្វ៊ែរ (\( r < R \)) គឺ៖ \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] សម្រាប់ \( r > R \):

– ការកំណត់ផ្ទៃ Gaussian៖
ជ្រើសរើសផ្ទៃ Gaussian ស្វ៊ែរដែលមានកាំ \( r \) នៅខាងក្រៅស្វ៊ែររឹង។

- ការគណនាបន្ទុក៖
បន្ទុកសរុបនៅលើផ្ទៃ Gaussian គឺជាបន្ទុកសរុបនៃស្វ៊ែរ \(Q\)។

- ការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss៖

\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]

ដូច្នេះ៖

\[
E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]

ដោយធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]

ដូច្នេះ ដែនអគ្គិសនីនៅខាងក្រៅស្វ៊ែរ (r > R\)) គឺ៖

\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ច្បាប់របស់ Gauss ផ្តល់នូវឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលមួយសម្រាប់វិភាគដែនអគ្គិសនីក្នុងស្ថានភាពជាច្រើនប្រភេទ។ តាមរយៈការជ្រើសរើសផ្ទៃ Gaussian ដែលសមស្រប និងការអនុវត្តគោលការណ៍ជាមូលដ្ឋានរបស់វា យើងអាចគណនាការចែកចាយដែនអគ្គិសនីបានកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាព។ តាមរយៈឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងបានឃើញការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss ក្នុងស្ថានភាពដូចជាដែនអគ្គិសនីនៅក្នុងស្វ៊ែរដែលដឹកនាំចរន្ត បន្ទះដែកគ្មានកំណត់ បន្ទុកចំណុច និងស្វ៊ែរដែលមានបន្ទុកឯកសណ្ឋាន។ ការយល់ដឹង និងការអនុវត្តជាប់លាប់នឹងធានាបាននូវការអនុវត្តច្បាប់របស់ Gauss ដ៏រឹងមាំនៅក្នុងកម្មវិធីអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិចផ្សេងៗ។