ការចែកចាយទ្វេធា

ការចែកចាយប៊ីណូមៀ៖ ទ្រឹស្តី ការអនុវត្ត និងឧទាហរណ៍

Pendahuluan

ការចែកចាយប៊ីណូមៀលគឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៅក្នុងស្ថិតិ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ក្នុងនាមជាការចែកចាយដាច់ពីគ្នាដែលត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតមួយ ការចែកចាយប៊ីណូមៀលផ្តល់នូវកម្មវិធីជាច្រើននៅក្នុងវិស័យដូចជា វេជ្ជសាស្ត្រ សេដ្ឋកិច្ច ជីវវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រសង្គម។ អត្ថបទនេះនឹងពិភាក្សាស៊ីជម្រៅអំពីការចែកចាយប៊ីណូមៀល រួមទាំងនិយមន័យរបស់វា លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗ រូបមន្តពាក់ព័ន្ធ និងឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តជាក់ស្តែងជាច្រើន។

ការយល់ដឹងអំពីការចែកចាយប៊ីណូមៀ

ការចែកចាយប៊ីណូមៀលពិពណ៌នាអំពីលទ្ធផលនៃការសាកល្បង n Bernoulli ដែលការសាកល្បងនីមួយៗមានលទ្ធផលដែលអាចកើតមានតែពីរប៉ុណ្ណោះ៖ "ជោគជ័យ" ឬ "បរាជ័យ"។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងការបោះកាក់ លទ្ធផលដែលអាចកើតមានគឺ "ក្បាល" ឬ "ក្បាល"។

ប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់ពីរនៅក្នុងការចែកចាយប៊ីណូមៀគឺ៖
១. n (ចំនួននៃការសាកល្បង)
2. p (ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗ)

ជាផ្លូវការជាងនេះទៅទៀត ចំនួននៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បង n អាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយការចែកចាយប៊ីណូមៀ \(B(n, p)\)។

អនុគមន៍​ម៉ាស​ប្រូបាប៊ីលីតេ (PMF)

អនុគមន៍ម៉ាស់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀត្រូវបានបង្កើតឡើងដូចខាងក្រោម៖
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
កន្លែងណា៖
– \( \binom{n}{k} \) គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃ n k ដែលបានជ្រើសរើស,
–\(p\) គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងតែមួយ
–\(k\) គឺជាចំនួននៃភាពជោគជ័យ
–\( n\) គឺជាចំនួនសរុបនៃការសាកល្បង។

លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀល

ការចែកចាយប៊ីណូមៀលមានលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួន៖
១. មធ្យមភាគ (មធ្យមភាគ)៖ ទទួលបានពីការគុណចំនួននៃការសាកល្បងដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗ។ មធ្យមភាគគឺ \( \mu = np \)។
២. វ៉ារ្យង់៖ វ៉ារ្យង់នៃការចែកចាយប៊ីណូមាគឺជាផលគុណនៃចំនួននៃការសាកល្បង ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យ ពោលគឺ \( \sigma^2 = np(1 – p) \)។
៣. ស៊ីមេទ្រី និងភាពលំអៀង៖ នៅពេលដែល \( p = 0.5\) ការចែកចាយទ្វេធាគឺស៊ីមេទ្រី។ ចំពោះ \( p < 0.5\) ការចែកចាយមានភាពលំអៀងទៅខាងស្តាំ ហើយចំពោះ \( p > 0.5\) ការចែកចាយមានភាពលំអៀងទៅខាងឆ្វេង។
៤. ដែនកំណត់តម្លៃ៖ តម្លៃទ្វេធា (k) មានចាប់ពី 0 ដល់ n។

ការចែកចាយប៊ីណូមៀល និងទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល

ការចែកចាយប៊ីណូមៀលដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់នៅក្នុងទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល។ នៅពេលដែលចំនួននៃការសាកល្បង (n) ក្លាយជាធំខ្លាំង ការចែកចាយប៊ីណូមៀលនឹងខិតជិតការចែកចាយធម្មតាដែលមានមធ្យមភាគ \( \mu = np \) និងគម្លាតស្តង់ដារ \( \sigma = \sqrt{np(1 – p)} \)។

ឧទាហរណ៍ករណីប្រើប្រាស់ការចែកចាយប៊ីណូមៀល

ការពិភាក្សាអំពីការចែកចាយទ្វេធានឹងកាន់តែងាយស្រួលយល់តាមរយៈឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងពីវិស័យផ្សេងៗ។ ខាងក្រោមនេះគឺជាការអនុវត្តជាក់ស្តែងមួយចំនួន៖

ឧទាហរណ៍ទី 1: ការធ្វើតេស្តផលិតផល

ឧបមាថាក្រុមហ៊ុនផលិតគ្រឿងអេឡិចត្រូនិចមួយមានខ្សែសង្វាក់ផលិតកម្មដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលមានបញ្ហាគឺ 0.01។ ប្រសិនបើក្រុមហ៊ុនត្រួតពិនិត្យផលិតផលចំនួន 100 តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការរកឃើញផលិតផលមានបញ្ហាចំនួន 2 យ៉ាងដូចម្តេច?

ដោយប្រើរូបមន្តចែកចាយទ្វេធា៖
\[ P(X = 2) = \binom{100}{2} (0.01)^2 (0.99)^{98} \]

ដោយ​គណនា​បន្សំ \(\binom{100}{2}\) រួច​គុណ​នឹង​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ដែល​នៅ​សល់ យើង​ទទួល​បាន​លទ្ធផល​ចុង​ក្រោយ។

ឧទាហរណ៍ទី 2: ការស្រាវជ្រាវផ្នែកវេជ្ជសាស្ត្រ

នៅក្នុងការសាកល្បងព្យាបាលដោយថ្នាំសម្រាប់ជំងឺជាក់លាក់មួយ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកជំងឺនឹងជាសះស្បើយជាមួយនឹងថ្នាំនេះគឺ 0.8។ ប្រសិនបើអ្នកជំងឺ 10 នាក់ត្រូវបានធ្វើតេស្ត តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់អ្នកជំងឺ 8 នាក់នឹងជាសះស្បើយមានប៉ុន្មាន?

ដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនេះ យើងត្រូវបូកប្រូបាប៊ីលីតេរបស់អ្នកជំងឺ 8, 9 និង 10 នាក់ដែលកំពុងជាសះស្បើយ៖
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \]

ដោយប្រើរូបមន្តប៊ីណូមៀលសម្រាប់តម្លៃនីមួយៗនៃ k (8, 9, និង 10) បន្ទាប់មកបូកលទ្ធផល។

ឧទាហរណ៍ទី 3: ការសម្រេចចិត្តក្នុងសេដ្ឋកិច្ច

នៅក្នុងការស្ទង់មតិទីផ្សារមួយ អ្នកប្រើប្រាស់ 60% ចូលចិត្តផលិតផលថ្មី។ ប្រសិនបើយកគំរូចៃដន្យចំនួន 20 នាក់ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់ 15 នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេចូលចិត្តផលិតផលនោះគឺជាអ្វី?

យើងត្រូវការការចែកចាយប៊ីណូមៀដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំនួននៃការចូលចិត្តពី 15 ដល់ 20៖
\[ P(X \geq 15) = P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20) \]

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដូចគ្នា យើងគណនា និងបូកបញ្ចូលគ្នានូវប្រូបាប៊ីលីតេទាំងនេះ។

ការប្រើប្រាស់បច្ចេកវិទ្យាក្នុងការគណនាការចែកចាយទ្វេធា

នៅក្នុងយុគសម័យឌីជីថល កម្មវិធីគណនាការចែកចាយប៊ីណូមៀមិនត្រឹមតែត្រូវបានធ្វើឡើងដោយដៃប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏ត្រូវប្រើកម្មវិធីដូចជា R, Python ឬម៉ាស៊ីនគិតលេខស្ថិតិមួយចំនួនផងដែរ។

នេះជាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ Python ដើម្បីគណនាការចែកចាយប៊ីណូមៀ៖

“`ពស់ថ្លាន់
ពី scipy.stats នាំចូល binom

n = 10 ចំនួននៃការសាកល្បង
p = 0.8 ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ
k = 8 ចំនួនជោគជ័យដែលរំពឹងទុក

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យចំនួន ៨ យ៉ាងពិតប្រាកដ
prob_8 = binom.pmf(k, n, p)

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យយ៉ាងហោចណាស់ ៨
prob_ge_8 = 1 – binom.cdf(k-1, n, p)

print(f”ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យចំនួន 8 យ៉ាងពិតប្រាកដ៖ {prob_8}”)
print(f”ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យយ៉ាងហោចណាស់ ៨៖ {prob_ge_8}”)
“ `

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ការចែកចាយប៊ីណូមៀលគឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានដ៏សំខាន់មួយនៅក្នុងស្ថិតិ និងប្រូបាប៊ីលីតេ។ តាមរយៈការយល់ដឹងអំពីការចែកចាយប៊ីណូមៀល យើងអាចអនុវត្តគំរូប្រូបាប៊ីលីតេផ្សេងៗទៅលើស្ថានភាពពិភពពិតដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការពិសោធន៍ម្តងហើយម្តងទៀតជាមួយនឹងលទ្ធផលពីរ។ សមត្ថភាពក្នុងការប្រើប្រាស់ឧបករណ៍បច្ចេកវិទ្យាធ្វើឱ្យដំណើរការគណនាកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាព និងត្រឹមត្រូវជាងមុន។ ការចែកចាយប៊ីណូមៀលមិនត្រឹមតែមានសារៈសំខាន់ខាងទ្រឹស្តីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏មានការអនុវត្តជាក់ស្តែងពាក់ព័ន្ធជាច្រើននៅក្នុងវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រ និងឧស្សាហកម្មផ្សេងៗផងដែរ។

សង្ឃឹមថាអត្ថបទនេះផ្តល់នូវការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីការចែកចាយប៊ីណូមៀ និងជម្រុញការស្វែងយល់បន្ថែមទៀតនៅក្នុងវិស័យស្ថិតិ និងប្រូបាប៊ីលីតេ។